Question

Стороны ромба равны 16корней из3 см, а угол 60 градусов. Все стороны ромба касаются сферы радиусом 15 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости ромба. Решение нужно с рисунком.

Answer 1

Ответ:

9см

Объяснение:

Смотри рисунок на прикреплённом фото.

а = 16√3 см -сторона ромба

α = 60° - угол ромба

Rсф = 15см - радиус сферы

d - ? - расстояние от центра сферы до плоскости ромба

-----------------------------

Н = а · sin 60° = 16√3 · 0.5√3 = 24(см) - высота ромба

Rсеч = Н/2 = 24 : 2 = 12(см) - радиус сечения

По теореме Пифагора Rсф² = Rсеч² + d²

d = √(Rсф² - Rсеч²) = √(15² - 12²) = 9(cм)

Answer 2

Для решения задачи нам понадобятся знания о свойствах ромбов и сфер.

Из свойств ромба знаем, что все его стороны равны, а угол между смежными сторонами равен 60 градусов. Из этого следует, что диагонали ромба равны между собой и составляют угол 120 градусов.

Из свойств сферы знаем, что все точки на сфере находятся на одинаковом расстоянии от ее центра.

Чтобы найти расстояние от центра сферы до плоскости ромба, нам нужно найти расстояние от центра сферы до точки пересечения диагоналей ромба (центра ромба).

Рассмотрим рисунок:

Пусть $O$ - центр сферы, $A$, $B$, $C$, $D$ - вершины ромба, $E$ - точка пересечения диагоналей ромба (центр ромба). Так как все стороны ромба равны и равны 16$\sqrt{3}$ см, то каждая сторона равна $16\sqrt{3}/2=8\sqrt{3}$ см. Также заметим, что треугольник $OAE$ является равносторонним, так как $OA=AE=OE=15$ см.

Из равносторонности треугольника $OAE$ следует, что угол $OAE$ равен 60 градусов. Также угол $OED$ равен 120 градусов, так как это угол между диагоналями ромба.

Теперь мы можем использовать тригонометрические соотношения, чтобы найти расстояние от $O$ до плоскости $ABCD$. Заметим, что треугольник $OED$ является прямоугольным, поэтому мы можем использовать теорему косинусов для нахождения расстояния $OD$:

$$OD^2 = OE^2 + ED^2 - 2\cdot OE\cdot ED\cdot \cos{\angle OED}$$

Подставляя известные значения, получаем:

$$OD^2 = 15^2 + \left(\frac{8\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2\cdot 15\cdot 8\sqrt{3}\cdot\cos{120^\circ} = 675 - 360 = 315$$

Отсюда следует, что $OD=\sqrt{315}=3\sqrt{35}$ см.

Таким об