Question

В треугольнике ABC угол A равен 60◦, а биссектриса угла A, медиана, проведенная из вершины B, и высота, прове- денная из вершины C, пересекаются в одной точке. Найдите остальные углы треугольника. Я знаю, что такое возможно только в равностороннем треугольнике, но мне нужно доказательство!

Answer 1

Пусть CH - высота, BM - медиана и О - их точка пересечения. Тогда ∠ACH=90°-60°=30°. Кроме того, ∠ОАM=30° (AO - биссектриса), т.е. треугольник AOC - равнобедренный (у него два угла по 30°),  ОM - его медиана, а значит и высота. Т.е. BM - одновременно медиана и высота треугольника ABC. Значит АВС - равнобедренный с углом 60°. Значит, он равносторонний. Т.е. все углы по 60°.

Answer 2

Вы правы, это утверждение верно только для равностороннего треугольника.

Давайте рассмотрим данную ситуацию подробнее. Пусть точка пересечения биссектрисы, медианы и высоты обозначается буквой H.

Так как медиана, проходящая через вершину B, делит сторону AC пополам, то мы можем выразить отрезок AH как половину стороны AC. Аналогично, высота, проходящая через вершину C, делит сторону AB пополам, так что мы можем выразить отрезок CH как половину стороны AB.

Таким образом, получаем, что отрезки AH и CH равны, то есть треугольник AHC является равнобедренным. Значит, угол HAC равен углу HCA.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. У нас уже есть равенство углов HAC и HCA, и так как сумма углов треугольника равна 180 градусов, то угол BAC должен быть в два раза больше угла HAC (ведь HAC является углом между биссектрисой и медианой угла A). То есть, угол BAC равен 120 градусов.

Таким образом, мы получили, что угол BAC равен 120 градусов, что невозможно в неравностороннем треугольнике. Значит, исходное предположение неверно, и данная ситуация возможна только в равностороннем треугольнике.