Question

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и ВВ1. Докажите, что углы АА1В и АВВ1 равны.

Answer 1

Высота со стороной образует угол 90 градусов. И одна и другая.

Answer 2

Чтобы доказать, что углы АА1В и АВВ1 равны, мы можем воспользоваться теоремой об углах между высотами в остроугольном треугольнике.

Согласно этой теореме, угол между высотами, опущенными из вершин остроугольного треугольника, равен углу между боковыми сторонами, на которые эти высоты опущены.

Таким образом, чтобы доказать, что углы АА1В и АВВ1 равны, достаточно показать, что высоты AA1 и ВВ1 опущены на одну и ту же боковую сторону треугольника ABC.

Рассмотрим треугольник ABC и его высоты AA1 и ВВ1. Пусть О - точка пересечения высот. Тогда треугольник АОВ является прямоугольным, а значит, угол ВОА равен 90 градусов.

Также заметим, что треугольники АА1О и ВВ1О подобны треугольнику АВС, так как они имеют два равных угла: углы АА1О и ВВ1О равны по определению прямых углов, а угол ВОА является общим для обоих треугольников.

Из подобия треугольников АА1О и ВВ1О следует, что отрезки АА1 и ВВ1 пропорциональны отрезкам АО и ВО соответственно.

Так как АО и ВО являются высотами, опущенными на боковые стороны АВ и АС треугольника ABC, то мы можем заключить, что высоты AA1 и ВВ1 опущены на одну и ту же боковую сторону треугольника ABC.

Следовательно, углы АА1В и АВВ1 равны, что и требовалось доказать.