Question

В цилиндр, боковая поверхность которого равна S, вписана правильная пятиугольная пирамида так, что её основание вписано в основание цилиндра, а вершина лежит в плоскости другого основания цилиндра. Вычислить объем пирамиды, зная, что её боковые грани наклоннны к основантю под углом а(альфа). ​

Answer 1

Если решали, то в формулах разберётесь. Рисунок сделаете. Отношение  объемов написала готовую формулу. Её не сложно вывести, если захотите, сами это сделаете. Задача не столько на пространственное мышление, сколько на преобразование выражений. Если у вас все же есть решение проще, то хорошо.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для объема пирамиды:

V = (1/3) * S_осн * h,

где V - объем пирамиды, S_осн - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.

По условию задачи, основание пирамиды - правильный пятиугольник, который вписан в основание цилиндра. Площадь основания пирамиды можно найти, разбив ее на треугольники, соединяющие центр пятиугольника с вершинами:

S_осн = 5 * S_треуг,

где S_треуг - площадь одного из треугольников. Рассмотрим треугольник, соединяющий центр пятиугольника с одной из его вершин. Этот треугольник является равнобедренным, поскольку угол при вершине равен 360/5 = 72 градусам, а два других угла при основании треугольника равны (180-72)/2 = 54 градусам. Значит, высота пятиугольника равна:

h_пям = R_осн * cos(54),

где R_осн - радиус описанной окружности пятиугольника.

Теперь можем найти площадь одного из треугольников:

S_треуг = (1/2) * R_осн * R_осн * sin(72).

Следовательно, площадь основания пирамиды равна:

S_осн = 5 * S_треуг = (5/2) * R_осн * R_осн * sin(72).

Осталось найти высоту пирамиды. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ее вершину и основание. Это сечение будет являться равнобедренным треугольником с углом между боковой гранью и основанием равным а(альфа). Значит, высота пирамиды равна:

h = R_осн * tan(a).

Теперь можем найти объем пирамиды, подставив найденные значения в формулу:

V = (1/3) * S_осн * h = (5/6) * R_осн * R_осн * sin(72) * R_осн * tan(a) = (5/6) * R_осн^3 * sin(72) * tan(a).