Question

Две окружности касаются прямой a в точке A . Покажите ,что прямая O1 O2 перпендикулярна прямой a

Answer 1

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу этой окружности проведенному к точке касания. О1А перпендикулярен а, ОА перпендикулярен а. Поскольку т. А принадлежит прямой а, то ОО1 перпендикулярна а.
Варианты расположения окружностей в приложениях

Answer 2

Рассмотрим угол О1АО2
Если взять произвольную точку М на прямой, то этот угол состоит из двух углов О1АМ = 90градусов (так как радиус перпендикулярен касательной в точке касания) и О2АМ = 90градусов (так как радиус перпендикулярен касательной в точке касания)
Тогда угол О1АО2 = угол О1АМ + угол О2АМ = 90 + 90  = 180
Следовательно О1АО2 это развернутый угол , т.е. его лучи образуют одну прямую О1О2 и эта прямая перпендикулярна касательной так как угол О1АМ = 90градусов.

Answer 3

Для доказательства необходимо воспользоваться свойством касательной, которое гласит: касательная к окружности в точке касания перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку.

Пусть даны две окружности с центрами O1 и O2, которые касаются прямой a в точке A. Проведем радиусы окружностей, проходящие через точку касания и центры окружностей. Получим два радиуса: OA1 и OA2, которые являются перпендикулярами к прямой a.

Так как О1А и О2А являются радиусами окружностей, то они равны по длине. Следовательно, треугольник О1О2А является прямоугольным с катетами О1О2 и О1А (О2А). Так как катеты этого треугольника перпендикулярны друг другу, то гипотенуза О1О2 также перпендикулярна к этим катетам. Следовательно, прямая О1О2 перпендикулярна к прямой a.

Таким образом, мы доказали, что прямая О1О2 перпендикулярна к прямой a.