Question

в треугольник АВС сторона АВ=12см ВС=16 медианы треугольника АА1 и СС1 пресекаются под углом 90 градусов найдите длинну стороны АС в ответе запишите АС корень из 5  

Answer 1

пусть

длина медаины АА1=а

длина медины СС1=с

точка персечения О делит медианы на отрезки -свойство медиан

СО=2/3*с

ОС1=1/3*с

АО=2/3*а

ОА1=1/3*а

треугольники АОС1 и СОА1 - прямоугольные ,

т к медианы треугольника АА1 и СС1 пресекаются под углом 90 градусов

тогда по теореме Пифагора

СО^2 +OA1^2 =CA1^2 подставим сюда   а , c CA1=16/2

(2/3*с)^2 +(1/3*а)^2= (16/2)^2  (1)

ОC1^2 +OA^2 =AC1^2 подставим сюда   а , c AC1=12/2

(1/3*с)^2 +(2/3*а)^2= (12/2)^2  (2)

решим систему двух уравнений (1) и (2)

здесь а =4√3    с=2√33

теперь найдем сторону АС

по теореме Пифагора

АС^2= (2/3*c)^2 +(2/3*a)^2=(2/3)^2*(c^2+a*2)=(2/3)^2*((2√33)^2+(4√3)^2)=80

AC=√80 =4√5

 

Ответ AC=4√5

Answer 2

Для решения этой задачи можно воспользоваться теоремой о медиане, которая гласит, что медиана, проведенная к стороне треугольника, делит ее на две равные части. Таким образом, мы можем найти длины сторон треугольника АА1С и треугольника СС1А, затем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения длины стороны АС.

Пусть точка М - середина стороны ВС, тогда медиана АА1 проходит через точки М и А. Аналогично, точка N - середина стороны АВ, тогда медиана СС1 проходит через точки N и С.

Так как медианы пересекаются под прямым углом, то треугольники АМН и СНМ подобны прямоугольным треугольникам АА1М и СС1Н соответственно в соотношении 1:2 (по теореме о медиане). Поэтому:

$AN = NC = \frac{1}{2} AC$, $AM = MB = \frac{1}{2} AB$.

Теперь можно найти длины сторон треугольника АА1С и треугольника СС1А, используя теорему Пифагора:

$AA1^2 = AM^2 + A1M^2 = (\frac{1}{2} AB)^2 + (\frac{1}{2} AC)^2$,

$CC1^2 = CN^2 + C1N^2 = (\frac{1}{2} AC)^2 + (\frac{1}{2} BC)^2$,

где AB = 12 и BC = 16.

Заметим, что $(\frac{1}{2} AB)^2 + (\frac{1}{2} AC)^2 + (\frac{1}{2} AC)^2 + (\frac{1}{2} BC)^2 = \frac{1}{4} (AB^2 + 2AC^2 + BC^2)$.

Известно, что медианы пересекаются под углом 90 градусов, поэтому угол между медианами и стороной треугольника равен 90 градусов. Значит, треугольник АА1С является прямоугольным с гипотенузой АС и катетами АМ и МA1, а треугольник СС1А является прямоугольным с гипотенузой АС и катетами CN и NC1.

Тогда получаем:

$AA1^2 + CC1^2 = (\frac{1}{2} AB)^2 + 2(\frac{1}{2} AC)^2