Question

Треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см согнули по его средним линиям и получили модель тетраэдра. Тогда площадь каждой грани тетраэдра равна…

Answer 1

 Средняя линия треугольника  соединяет середины двух сторон треугольника, параллельна и равна половине  третьей стороны. Средние линии делят исходный треугольника на 4 равных ( см. рисунок). Треугольник, образованный средними линиями треугольника, подобен исходному ( по равенству соответственных углов, образованных при пересечении параллельных средней линии и стороны треугольника секущей – стороной исходного треугольника). Коэффициент подобия k=1/2.  Треугольник со сторонами 3,4, 5 - египетский, т.е. прямоугольный. Его площадь - половина произведения катетов. S=3•4:2=6 см²

     Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Если исходный треугольник АВС, а середины его сторон К, М, Н, то Ѕ(КМН)=1/4•Ѕ(АВС)=1,5 см²

 Каждый такой треугольник - грань развёртки тетраэдра. Площадь грани - 1,5 см²

Answer 2

Первым шагом необходимо найти высоту треугольника, образованного сторонами 3 см, 4 см и 5 см. Этот треугольник является прямоугольным, поэтому его высота равна стороне, лежащей напротив прямого угла, деленной на два. Таким образом, высота этого треугольника равна 4/2 = 2 см.

Теперь мы можем найти площадь каждой грани тетраэдра. Площадь каждой грани равна половине произведения длины ребра на соответствующую высоту. Так как все ребра тетраэдра равны, нам нужно найти только одну высоту.

Высота тетраэдра, проведенная к основанию, является медианой треугольника, образованного средними линиями исходного треугольника. Эта медиана делит треугольник на два равных треугольника. Так как эти треугольники являются прямоугольными, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину медианы.

По теореме Пифагора, квадрат длины медианы равен сумме квадратов половин длин двух сторон, ведущих к концам медианы. Эти стороны имеют длины 3/2 см и 5/2 см, соответственно. Поэтому квадрат длины медианы равен (3/2)^2 + (5/2)^2 = 25/4, а длина медианы равна корню из этого значения, то есть 5/2 см.

Теперь мы можем найти площадь каждой грани тетраэдра, используя формулу:

площадь грани = (1/2) * длина ребра * высота

где длина ребра равна 5 см, а высота равна 2 см (высота исходного треугольника). Поэтому площадь каждой грани равна:

площадь грани = (1/2) * 5 см * 2 см = 5 см^2

Таким образом, площадь каждой грани тетраэдра равна 5 квадратных сантиметров.