Question

Докажите что биссектрисы углов прилежащих к одной стороне параллелограмма пересекаются под прямым углом

Answer 1

Докажем, что биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются под прямым углом. Сумма соседних углов параллелограмма равна 180 градусам. Обозначим угол A за x, угол D за y, тогда x+y=180. Рассмотрим треугольник ADE, угол EAD равен x/2, угол  EDA равен y/2. x+y=180, тогда x/2+y/2=90. Сумма углов треугольника равна 180 градусам, тогда угол AED равен 180-x/2-y/2=180-90=90, то есть, этот угол прямой, что и требовалось.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, нам понадобится несколько фактов о параллелограммах и биссектрисах углов. Давайте пошагово докажем данное утверждение.

Пусть у нас есть параллелограмм ABCD, где AB и CD - параллельные стороны, а BC и AD - противоположные стороны параллелограмма.

1. Предположим, что есть две биссектрисы углов параллелограмма, которые пересекаются в точке E (см. рисунок ниже).

cssCopy code
     A                B
      ------------------
      |                |
      |                |
      |                |
   D  ------------------ C

2. Обозначим углы параллелограмма следующим образом:

   • Угол BAD обозначим как α.
   • Угол ADC обозначим как β.
   • Угол BCD обозначим как γ.
   • Угол CBA обозначим как δ.

3. Так как BC || AD, то угол γ и угол β являются смежными углами. Аналогично, угол δ и угол α являются смежными углами.

4. Поскольку биссектрисы углов являются линиями, делящими углы пополам, то мы можем утверждать, что угол BED = γ/2 и угол AEB = β/2.

5. Также мы можем сказать, что угол DEA = α/2 и угол DEC = δ/2.

6. Рассмотрим треугольник AED. В нем углы DEA и AEB являются углами, дополнительными к углам α и β соответственно. А значит, эти углы являются смежными углами и их сумма равна 180 градусов.

7. Также рассмотрим треугольник CDE. В нем углы DEC и BED являются углами, дополнительными к углам δ и γ соответственно. Их сумма также равна 180 градусов.

8. Теперь мы можем заключить, что угол AED + угол CDE = 180 градусов.

9. Поскольку сумма углов AED и CDE равна 180 градусов, а AED и CDE являются углами при вершине E, то мы можем заключить, что угол AEC = 180 градусов.

10. Угол AEC равен 180 градусов, что означает, что