Question

окружность касается двух смежных сторон квадрата и делит каждую из двух других на отрезки равные 2 и 23. Найти радиус окружности

Answer 1

Разместим в декартовой системе координат квадрат и окружность  так чтобы по оси OX была одна сторона квадрата, а по оси OY - вторая. Уравнение окружности  имеет вид

(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2

Сторона квадрата расположена по оси OY  имеет координату x = 25 и пересекает её в точке с координатой y = 2. Подставляем x и y в уравнение окружности  и получаем:
(25 - r)^2 + (2 - r)^2 = r^2

откуда

  (625-50r+r^2)+(4-4r+r^2)=r^2

r^2-54r+629=0

D=b^2-4ac=400

r1,2=(-b±√D)/2a

r1=17

r2=37

Answer 2

Пусть квадрат имеет сторону длины $a$. Пусть $O$ - центр окружности, которая касается двух смежных сторон квадрата, а $B$ и $C$ - точки касания окружности со сторонами квадрата, как показано на рисунке:

mathematicaCopy code
        B                     C
        *--------------------*
        |                    |
        |                    |
        |                    |
        |         O          |  
        |                    |
        |                    |
        |                    |
        *--------------------*
        A                     D

Так как радиус окружности является перпендикуляром к касательной в точке касания, мы получаем, что $OB$ и $OC$ являются перпендикулярами к сторонам квадрата.

Также, так как каждая из двух других сторон квадрата делится окружностью на отрезки длины 2 и 23, мы можем заметить, что отрезок $BD$ равен $a - 2$ и отрезок $DC$ равен $a - 23$.

Используя теорему Пифагора для прямоугольных треугольников $OBD$ и $OCD$, мы можем написать:

$(OB)^2 = (OD)^2 + (BD)^2$ $(OC)^2 = (OD)^2 + (DC)^2$

Так как $OB = OC$, мы можем вычесть одно уравнение из другого и получить:

$(BD)^2 - (DC)^2 = (OB)^2 - (OC)^2 = 0$

$\Rightarrow (a-2)^2 - (a-23)^2 = 0$

$\Rightarrow a^2 - 4a + 4 - (a^2 - 46a + 529) = 0$

$\Rightarrow 42a = 525$

$\Rightarrow a = \frac{525}{42} = \frac{175}{14}$

Так как радиус окружности является половиной длины диагонали квадрата, мы можем выразить радиус окружности как:

$r = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{175}{14} = \frac{175\sqrt{2}}{28}$

Таким образом, радиус окружности равен $\frac{175\sqrt{2}}{28}$.