Question

Відрізок DA -- перпендикуляр до площини трикутника ABC,AB = 10cm,AC=17cm,BC=21cm Знайдіть відстань від точки D до прямої ВС , якщо відстань від точки D до площини дорівнює 15 cmС рисунком плз

Answer 1

Проведем высоту AH к стороне BC в ΔABC

Соединим точки D и H

Т.к. AH ⊥ BC, а DA ⊥ AH (DA ⊥ ABC, а следовательно и любой прямой в этой плоскости) ⇒ DH ⊥ BC (по теореме о трех перпендикулярах).

Т.е DH и будет расстоянием от точки D до прямой BC.

Найдем площадь треугольника ABC по формуле Герона:

$p=\frac{10+17+21}{2}=24\\S=\sqrt{24*(24-10)*(24-17)*(24-21)}=\sqrt{24*14*7*3}=84$

Площадь ΔABC может быть найдена и по формуле:

$S=\frac{1}{2}*BC*AH\\AH=\frac{2S}{BC}=\frac{2*84}{21}=8$

Из прямоугольного ΔDAH по теореме Пифагора:

$DH=\sqrt{DA^2+AH^2}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{289}=17$

Answer 2

Для початку побудуємо трикутник ABC за заданими довжинами сторін:

Далі, побудуємо перпендикуляр DA до площини трикутника ABC. За умовою задачі, відстань від точки D до площини трикутника дорівнює 15 см. Оскільки перпендикуляр спускається з точки D на площину трикутника, то відстань від точки D до точки перетину перпендикуляра і площини трикутника також дорівнюватиме 15 см.

Тепер, щоб знайти відстань від точки D до прямої BC, спроектуємо вектор, що сполучає точки D і С, на вектор, що сполучає точки B і С. За теоремою про проекції векторів, відстань між точкою D і прямою ВС дорівнюватиме довжині проекції.

Спочатку знайдемо вектор CB:

CB = B - C = (-10, 0, 0)

Далі, знайдемо вектор CD:

CD = D - C

Для того, щоб знайти точні координати точки D, нам потрібні додаткові відомості про розташування точки D. Наприклад, можна вважати, що точка D лежить на перетині перпендикуляра DA і медіани трикутника ABC, що проходить через вершину C. З цієї умови можна знайти координати точки D:

Для цього, спочатку знайдемо координати точки М - середини сторони AB:

М = ((A_x + B_x) / 2, (A_y + B_y) / 2, (A_z + B_z) / 2) = ((-10 + 0) / 2, (0 + 0) / 2, (0 + 21) / 2) = (-5, 0, 10.5)

Тепер знайдемо вектор CM:

CM = M - C = (-5, 0, 10.5) - (0, 0, 0) = (-5, 0, 10.5)

Так як