Question

Найдите периметр треугольника ABC, если AB=BC=6 см, MN-средняя линия, а периметр четырехугольника ABNM равен 14 см.

Answer 1

Ответ: 16 см

Объяснение:

 Если MN параллельна АС, задача не имеет решения, поскольку в таком случае четырехугольник ABNM не существует.

Поэтому N∈ВС;  М∈АС. Сделаем рисунок.

NM по свойству средней линии параллельна АВ и равна ее половине.

NM=3 (см)

Примем АМ=МС=х

Тогда Р(АВNM)=АВ+ВN+NM+MA=6+3+3+х=14 (см).

х=14-12=2

АС=2х=4 (см)

Р(АВС)=АВ+ВС+АС=16(см)

Answer 2

Для начала нужно заметить, что поскольку AB=BC, то треугольник ABC является равнобедренным, а значит, высота, опущенная на сторону AB (и на сторону BC), также является медианой.

Пусть H - точка пересечения медиан треугольника ABC (центр тяжести). Тогда, по свойству медианы, MH=AH=3 см.

Также заметим, что четырехугольник ABNM является трапецией (так как MN - средняя линия треугольника ABC, то MN || BC), и поэтому его периметр равен сумме длин боковых сторон, то есть AB + NM + MA + BN.

Из условия задачи известно, что периметр этой трапеции равен 14 см, то есть AB + NM + MA + BN = 14.

Так как AB = 6 см, а MA = AH = 3 см, то BN + NM = 14 - AB - MA = 14 - 6 - 3 = 5 см.

Заметим также, что BN = BC - CN = 6 - CN, где CN - медиана треугольника ABC, опущенная на сторону BC. Так как треугольник ABC равнобедренный, то CN также является биссектрисой угла ACB, и поэтому делит этот угол на две равные части. Значит, угол ACN равен половине угла ACB, то есть 45 градусов (так как угол ACB равен 90 градусов, как угол прямоугольного треугольника).

Из этого следует, что треугольник ACN является прямоугольным со сторонами AC и CN, причем AC = 6 см, так как треугольник ABC равнобедренный. Значит, CN = AC/√2 = 6/√2 см.

Тогда BN = 6 - CN = 6 - 6/√2 = 6(√2 - 1)/√2 см, а NM = 5 - BN = 6/√2 - 6(√2 - 1)/√2 = 6(2 - √2)/√2 см.

Итак, мы нашли все стороны трапеции ABNM, и теперь можем найти ее периметр:

AB + NM + MA + BN = 6 + 6(2 - √2)/√2 + 3 + 6(√2 - 1)/√2 = 6(3 + 2√2)/√2 = 9(√2 + 1) см.