Question

Катети прямокутного трикутника =6 см і 8 см . Знайдіть відстань між центрами вписаного і описаного кіл. Задачу розв"яжіть координатним методом,розмістивши трикутник у прямокутній системі координат. 

Answer 1

Відкладемо катети трикутника по координатних осях, помістивши вершину прямого кута в початок координат

Довжина гіпотенузи  с = √ (a² + b²) = √ (6² + 8²) = 10

Площа трикутника   S =  a * b / 2 = 6 * 8 / 2 = 24

Радіус вписаного кола   r = 2 * S / (a + b + c) =  2 * 24 / (6 + 8 + 10) = 2

Отже, центр вписаного кола має координати (2; 2) (центр вписаного кола рівновіддалений від координатних осей)

Центр описаного кола - середина гіпотенузи, тому його координати

((6 + 0) / 2;  (0 + 8) / 2) = (3; 4)

Отже, шукана відстань

d = √ ((3 - 2)² + (4 - 2)²) = √ 5

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі нам потрібно визначити координати вершин трикутника за допомогою його катетів, а потім знайти центри вписаного і описаного кола, використовуючи формули для радіусів цих колів. Після цього ми можемо обчислити відстань між центрами цих колів.

Нехай вершина прямого кута трикутника буде в точці (0,0), а дві інші вершини будуть в точках (6,0) і (0,8). Тоді за допомогою теореми Піфагора ми можемо знайти координати третьої вершини трикутника:

$a^2 + b^2 = c^2$

$6^2 + 8^2 = c^2$

$c = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$

Тому координати третьої вершини трикутника будуть (0, 10).

Тепер ми можемо знайти середини сторін трикутника, щоб визначити координати центрів вписаного і описаного кола. Середина сторони AB має координати ((6+0)/2, (8+0)/2) = (3,4), середина сторони AC має координати ((0+0)/2, (8+10)/2) = (0,9), а середина сторони BC має координати ((6+0)/2, (8+10)/2) = (3,9).

Тепер ми можемо використовувати формули для радіусів вписаного і описаного кола:

Радіус вписаного кола r = півпериметр трикутника - площа трикутника / півпериметр трикутника

Радіус описаного кола R = c / 2, де c - довжина гіпотенузи трикутника.

Півпериметр трикутника дорівнює (6+8+10)/2 = 12, а його площа дорівнює 1/2 * 6 * 8 = 24. Тому ми маємо:

r = 12 - 24/12 = 10/3

R = 10/2 = 5

Тепер ми можемо обчислити відстань між центрами вписаного і описаного кола за допомогою формули:

d = sqrt((x2 - x1)^