Question

Дан треугольник ABC у которого AB=BC =CA.CD его биссектриса, АD=3 см Найдите периметр треугольника ABC: A 3 смB 6 смC 9смD 18 см

Answer 1

3+6+9+18=36 Ответ 36 периметр

Answer 2

PΔ = A+B+C = 3+6+9 = 18 см.

Answer 3

Мы можем воспользоваться свойством биссектрисы треугольника, которое гласит, что биссектриса угла делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные смежным сторонам. Таким образом, мы можем записать:

$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{1}=1$

Так как $AD$ является биссектрисой угла $A$, то мы также можем воспользоваться теоремой о биссектрисе, чтобы выразить $AB$ и $AC$ через $AD$:

$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{CD} \Rightarrow AB=\frac{BC \cdot AD}{CD}=\frac{AD^2}{CD}=3^2/CD=9/CD$

$\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{BD} \Rightarrow AC=\frac{BC \cdot AD}{BD}=\frac{AD^2}{BD}=3^2/BD=9/BD$

Так как $AB=AC$, мы можем записать:

$\frac{9}{CD}=\frac{9}{BD} \Rightarrow BD=CD$

Теперь мы можем найти длину стороны треугольника:

$AB+BC+CA=9/CD+CD+CD=9/CD+2CD$

Мы должны выбрать такое значение $CD$, которое сделает выражение $9/CD+2CD$ максимальным. Мы можем найти экстремум функции, взяв её производную по $CD$ и приравняв её к нулю:

$\frac{d}{dCD}\left(\frac{9}{CD}+2CD\right)=-\frac{9}{CD^2}+2=0$

Отсюда следует, что $CD=\sqrt{9/2}$. Подставляя это значение, мы получаем:

$AB+BC+CA=9/(\sqrt{9/2})+2\sqrt{9/2}=9\sqrt{2}+2\sqrt{18}=9\sqrt{2}+6\sqrt{2}=15\sqrt{2}$

Таким образом, периметр треугольника ABC равен $15\sqrt{2}$, что приблизительно равно 21.21 см. Ответ: (C) 9 см.