Question

При каких n из перечисленных ниже выпуклый n-угольник может иметь центр симметрии? 10 11 12 13 14 15

Answer 1

Центральная симметрия предполагает, что для каждой точки некоторой фигуры есть симметричная ей относительно точки симметрии (ваш кэп). Это означает, что  точек должно быть чётное количество, следовательно правильные ответы: 10, 12, 14.

Answer 2

Для того, чтобы многоугольник имел центр симметрии, необходимо и достаточно, чтобы число его вершин было четным. Это свойство выпуклых многоугольников.

Следовательно, из перечисленных ниже многоугольников центр симметрии может иметь только 10-угольник, 12-угольник и 14-угольник.

11-угольник и 13-угольник не могут иметь центр симметрии, поскольку число их вершин нечетное, а 15-угольник не может быть выпуклым, поскольку сумма углов в нем превышает 1800 градусов, что противоречит свойству выпуклости многоугольника.