Question

циліндр, діагональ осьового перерізу і твірна утворюють кут альфа, діагональ перерізу d. Знайти об*єм циліндра

Answer 1

Висота циліндра дорівнює $H=d*cos \alpha$

Діаметр основи дорівнює $D=d*sin \alpha$

Радіус основи дорівнює $R=\frac{D}{2}=\frac{d*sin \alpha}{2}$

Обєм циліндра дорівнює

$V=\pi*R^2*H=\pi*(\frac{d*sin \alpha}{2})^2*d*cos \alpha=\frac{\pi*d^3*sin^2 \alpha*cos \alpha}{4}=\frac{\pi*d^3*sin \alpha*sin(2 \alpha)}{8}$

Answer 2

Для розв'язання задачі нам потрібно знати формулу об'єму циліндра та використовувати геометричні властивості осьового перерізу.

Об'єм циліндра можна знайти за формулою:

V = S * h,

де S - площа основи циліндра, а h - його висота.

Для того, щоб знайти площу основи, нам потрібно визначити радіус циліндра.

Оскільки діагональ перерізу дорівнює d, то ми можемо скористатися властивостями прямокутного трикутника, щоб знайти радіус.

За теоремою Піфагора, сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи. У нашому випадку, катетами є радіус циліндра (r) і половина діагоналі перерізу (d/2), а гіпотенузою є діагональ осьового перерізу (D).

Отже, застосовуючи теорему Піфагора, ми отримуємо:

r^2 + (d/2)^2 = D^2

Звідси виражаємо радіус:

r = √(D^2 - (d/2)^2)

Тепер ми можемо знайти площу основи циліндра:

S = πr^2

і об'єм циліндра:

V = S * h = πr^2 * h

Залишилося тільки виразити висоту циліндра через заданий кут альфа.

Якщо провести площину, яка проходить через ось циліндра і утворює кут альфа з площиною осьового перерізу, то ця площина поділить циліндр на дві частини, з яких кожна буде прямокутною трикутником зі стороною d/2 та висотою h/2.

Тому за тригонометричними співвідношеннями ми маємо:

h/2 = (d/2) / tan(α/2)

Оскільки нам потрібна висота цілого циліндра, а не половини, то:

h = d / tan(α/