Question

ABCD-выпуклый четырёхугольник, AB=6cm, BC=9cm, CD=10cm, DA=25cm, AC=15cm. Докажите,что ABCD- трапеция.

Answer 1

Рассмотрим 2 тр-ка, получившихся при делении фигуры диагональю.
CD^2=AD^2+AC^2-2*AC*AD*cosA
100=625+225-2*25*15*cosA; cosA=1
AB^2=BC^2+AC^2-2*AC*BC*cosC;
36=81+225-2*9*15*cosC; cosC=1
Равенство возможно только при параллельных BC и AD и секущей АС, значит
данная фигура - трапеция.

Answer 2

Для того чтобы доказать, что ABCD является трапецией, необходимо показать, что одна из сторон параллельна другой стороне.

Известно, что AC является диагональю четырехугольника ABCD. Используя теорему косинусов для треугольника ABC, можно выразить косинус угла BAC: cos(BAC) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 * AB * AC) cos(BAC) = (6^2 + 15^2 - 9^2) / (2 * 6 * 15) cos(BAC) = 171 / 180 BAC ≈ 22.38°

Также можно выразить косинус угла ACD, используя теорему косинусов для треугольника ACD: cos(ACD) = (CD^2 + AC^2 - AD^2) / (2 * CD * AC) cos(ACD) = (10^2 + 15^2 - 25^2) / (2 * 10 * 15) cos(ACD) = -31 / 300 ACD ≈ 104.04°

Сумма углов ABC и ACD равна 180°, так как они образуют прилежащие углы внутренней точки четырехугольника: ABC + ACD = 180° ABC = 180° - ACD ABC ≈ 75.96°

Известно, что углы ABC и BAC являются смежными углами, и их сумма должна быть равна 180°. Таким образом: ABC + BAC = 180° 75.96° + 22.38° = 98.34°

Угол BCD является дополнительным к углу ACD, так как они лежат на противоположных сторонах пересекающей диагонали: BCD = 180° - ACD BCD ≈ 75.96°

Таким образом, углы ABC и BCD равны, что говорит о том, что стороны AB и CD параллельны друг другу. Следовательно, ABCD является трапецией.