Question

Из пункта А вниз по течению прямой реки одновременно отплыли плот и катер, а навстречу им в тот же момент из пункта B отправился такой же катер. Докажите, что в тот момент, когда первый катер достигнет пункта B, плот окажется точно посередине между пунктом А и вторым катером.

Answer 1

.....................

Answer 2

Обозначим расстояние между пунктами А и B за d. Пусть скорость катера, который отправился из пункта А вниз по течению реки, равна v, а скорость плота – w. Тогда время, за которое катер достигнет пункта B, равно t = d/v.

Заметим, что в тот же момент времени, когда катер отправился из пункта А, второй катер находился в пункте B и начал движение в направлении плота со скоростью w. Расстояние между пунктом А и вторым катером в этот момент времени равно d, а расстояние между плотом и пунктом А равно 0.

Рассмотрим момент времени t/2 после отправления катера из пункта А. За это время катер пройдет расстояние d/2 вниз по течению реки, а второй катер – расстояние d/2 вверх против течения. Плот за это же время пройдет расстояние w*t/2.

Таким образом, расстояние между пунктом А и плотом в момент времени t/2 будет равно d/2 - wt/2. Расстояние между плотом и вторым катером в этот же момент времени будет равно d/2 + wt/2.

Так как d/2 - wt/2 = (d/2 + wt/2)/2, то плот окажется точно посередине между пунктом А и вторым катером в момент времени t/2.

Также заметим, что скорость катера вверх по течению реки равна v - w, так как скорость течения реки вычитается из скорости катера. Таким образом, время, за которое второй катер догонит плот, равно t = d/(v-w).

Подставляя выражение для t в выражение для расстояний, получим, что расстояние между пунктом А и плотом в момент времени t равно (d/2) - (wd)/(2(v-w)), а расстояние между плотом и вторым катером в этот момент времени равно (d/2) + (wd)/(2(v-w)).

Так как (d/2) - (wd)/(2(v-w)) + (d/2) + (wd)/(2(v-w)) = d, то плот действительно окажется точно посередине между пунк