Question

Точка E середина боковой стороны AB трапеции ABCD.докажите,что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.

Answer 1

Проведем МК параллельно основанию трапеции, тогда это средняя линия трапеции. Также она делит сторону треугольника пополам, значит это медиана. Медиана треугольника делит его на 2 треуг. с одинаковыми площадями, значит площадь треугольника МСК=12 и площадь МКД=12. Что такое площадь? ЭТо половина произведения основания на высоту треугольника. к примеру основание МК и высота СН или основание МК и высота ДН1 для МСК и МКД соответственно. их площади равны 12, значит 12=0,5 МК*СН к примеру, 24=МК*СН. это площадь треугольника. а площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту, т е МК-средняя линия, а СН половина высоты, значит 24 в прошлом выражении еще умножим на 2,т к в выражении лишь половина высоты, итого площадь трапеции =48

Answer 2

Чтобы доказать, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции ABCD, нам нужно сначала выразить эти площади в терминах известных длин и ширин трапеции.

Обозначим через h высоту трапеции ABCD, а через a и b длины ее оснований. Тогда площадь трапеции будет равна:

S_trap = (a + b) * h / 2

Далее, мы знаем, что точка E находится на боковой стороне AB и является ее серединой. Поэтому, если мы обозначим через c длину отрезка EC, то длина отрезка ED будет также равна c.

Теперь мы можем выразить площадь треугольника ECD как:

S_ECD = c * h / 2

Заметим, что треугольники ECD и AED являются подобными, так как у них углы при вершине E равны (они оба прямые), а угол AED также равен углу ADC, так как это соответствующие углы при параллельных прямых AD и BC. Поэтому мы можем записать:

c / (b - a) = h / (2c)

Отсюда можно выразить c^2:

c^2 = (2ach) / (b - a)

Теперь мы можем подставить это выражение для c^2 в формулу для площади треугольника ECD:

S_ECD = c * h / 2 = sqrt((2ach) / (b - a)) * h / 2

А также выразить площадь трапеции через основания и высоту:

S_trap = (a + b) * h / 2

Мы можем заметить, что S_ECD является половиной произведения основания и высоты, то есть она действительно равна половине площади трапеции:

S_ECD = sqrt((2ach) / (b - a)) * h / 2 = (a + b) * h / 4 = S_trap / 2

Таким образом, мы доказали, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции ABCD.