Question

Найдите объем тела полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетами 3 см и 4 см вокруг меньшего катета.

Answer 1

Получившееся тело - конус высотой 3 см и с радиусом основания 4 см.

V = 1/3πr²*h

V = 1/3π*4²*3 = 1/3*3*16π = 16π ≈ 50,265 см³

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу объема тела вращения:

V = π * ∫[a,b] (f(x))^2 dx

где f(x) - это функция, определяющая форму поперечного сечения вращения, a и b - пределы интегрирования.

В данном случае мы вращаем треугольник вокруг меньшего катета, который равен 3 см. Чтобы найти функцию f(x), рассмотрим поперечное сечение треугольника вдоль прямой, проходящей через вершину прямого угла и перпендикулярной к меньшему катету.

Поперечное сечение будет являться кругом с радиусом, равным расстоянию от вершины прямого угла до прямой, проходящей через середину меньшего катета и перпендикулярной к нему. Это расстояние равно половине большого катета, то есть 2 см.

Таким образом, мы получаем функцию f(x) = 2 для x на отрезке [0,3].

Используя эту функцию и пределы интегрирования, мы можем вычислить объем:

V = π * ∫[0,3] (2)^2 dx = π * 4 * 3 = 12π

Ответ: объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетами 3 см и 4 см вокруг меньшего катета, равен 12π кубических сантиметров.