Question

Площадь равнобедренного треугольника авс равна 120 а длина основания ас 30 найдите радиус r выписанной в окружности. Заранее спасибочки))))

Answer 1

120=30*1\2ВН

1\2ВН=4;  ВН=8.

По теореме Пифагора

АВ=√(ВН²-АН²)=√(64+225)=√289=17.

Answer 2

Для равнобедренного треугольника выполняется равенство медианы и высоты, проходящих из вершины угла между равными сторонами, а также из центра описанной окружности.

Пусть вершина треугольника обозначена как В, основание АС и равные стороны АВ и ВС. Пусть О - центр описанной окружности, тогда АО = СО = ВО = r, где r - радиус описанной окружности.

Так как треугольник АВС - равнобедренный, то медиана и высота из вершины В пересекаются в точке D, находящейся на середине основания АС. Тогда BD является высотой треугольника АВС и также является медианой из вершины В. Из равенства площадей треугольников АВС и ВОС получаем:

ABBD/2 = BCBD/2 = S(ABC) = 120,

где AB=BC, BD - высота и медиана треугольника, S(ABC) - площадь треугольника.

Отсюда получаем значение высоты:

BD = 2S(ABC)/AB = 2*120/30 = 8.

Так как треугольник АВС - равнобедренный, то угол АВС = 80 градусов. Тогда угол АОВ, соответствующий дуге АС, будет равен 160 градусов.

Так как треугольник АВС - равнобедренный, то угол ВАС = 180 - 2*80 = 20 градусов. Тогда угол ВОС, соответствующий дуге АС, будет равен 40 градусов.

По теореме о центральном угле, угол АОС, соответствующий дуге АС, будет равен сумме углов АОВ и ВОС: 160 + 40 = 200 градусов.

Тогда по формуле дуги:

Длина дуги АС = (угол дуги/360)*2πr = (200/360)*2πr = 5πr/9.

Но длина дуги АС также равна длине основания АС:

Длина дуги АС = AB + BC = 2AB = 60.

Отсюда получаем:

5πr/9 = 60,

r = 9*60/5π = 36/π.

Итак, радиус описанной окружности равен 36/π.