Question

Доказать равенство прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу

Answer 1

Если катет одного прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, противолежащий этому катету равен 30 градусов.

Рассм прямоугольный треугольник АВС, у которого катет АС равен 1/2 гипотенузы ВС. Докажем, что угол АВС=30 градусов.

Приложим к треуг. АВС равный ему треуг. АВD. Получим равносторонний треуг.ВСD.

Углы этого треуг. равны друг другу, поэтому каждый из них равен 60градусов. В частности угол DВС=60 градусов, но угол DВС=2 угла АВС, => уголАВС=30 градусов.

Answer 2

Рассмотрим два прямоугольных треугольника $ABC$ и $DEF$, у которых катеты $AB$ и $DE$ равны между собой, а углы $A$ и $D$ являются противолежащими углами (см. рисунок ниже).

cssCopy code
    C          F
    |          |
    |          |
    |          |
    |          |
    A----------B
    D----------E

Нам нужно доказать, что такие треугольники равны.

Используем тригонометрические соотношения для прямоугольных треугольников:

$\sin A = \frac{BC}{AB}, \qquad \sin D = \frac{EF}{DE}$

Так как $AB = DE$, то $\sin A = \sin D$.

Также мы знаем, что $\angle BAC = \angle EDF = 90^\circ$, так как треугольники $ABC$ и $DEF$ являются прямоугольными.

Теперь рассмотрим две возможные ситуации:

1. Если $\angle BCA = \angle EFD$, то треугольники $ABC$ и $DEF$ будут подобными, так как у них равны два угла и одно отношение сторон. Из подобия следует, что $\frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}$, что в силу равенства $AB = DE$ приводит к равенству $BC = EF$.

2. Если $\angle BCA \neq \angle EFD$, то треугольники $ABC$ и $DEF$ будут подобными с обратным порядком сторон, так как у них равны два угла и одно отношение сторон. Из подобия следует, что $\frac{BC}{EF} = \frac{DE}{AB}$, что в силу равенства $AB = DE$ приводит к равенству $BC = EF$.

Таким образом, мы доказали, что в обоих случаях $BC = EF$, что означает, что треугольники $ABC$ и $DEF$ равны.