Question

Средняя линия трапеции делит ее площадь в отношении 5:7. найдите отношение оснований трапеции

Answer 1

Средняя линия трапеции равна (a+b)/2 и делит высоту пополам. Пусть a  - меньшее, а b  - большее основание трапеции. Тогда отношение меньшей площади к большей равно (b+3a)/(a+3b)=5/7. Отсюда 7(b+3a)=5(a+3b). Разделим обе части на a, чтобы найти b/a. Тогда 8(b/a)=16, и получаем b/a=2

Answer 2

Пусть длины оснований трапеции будут $a$ и $b$ (где $a > b$). Тогда площадь трапеции можно выразить следующим образом:

$S = \frac{1}{2}(a + b) \cdot h,$

где $h$ - высота трапеции.

По условию задачи, средняя линия трапеции делит ее площадь в отношении 5:7. Пусть $m$ - длина средней линии. Тогда площадь, заключенная между средней линией и боковыми сторонами, равна $\frac{5}{12}$ от общей площади трапеции. Площадь, заключенная между средней линией и основаниями, равна $\frac{7}{12}$ от общей площади трапеции.

Мы можем записать уравнение для площади, заключенной между средней линией и боковыми сторонами:

$\frac{1}{2}(a + b) \cdot h \cdot \frac{5}{12} = \frac{1}{2}(m + b) \cdot h \cdot \frac{5}{12}.$

Здесь мы умножаем общую площадь на $\frac{5}{12}$, так как она делится в этом отношении. Заметим, что высота $h$ сокращается. Теперь упростим уравнение:

$a + b = m + b.$

Сокращаем $b$ и получаем:

$a = m.$

Таким образом, средняя линия трапеции равна ее большему основанию $a$.

Отношение оснований трапеции равно:

$\frac{a}{b} = \frac{m}{b} = \frac{m}{m} = 1.$

Таким образом, отношение оснований трапеции равно 1.