Question

Бис­сек­три­сы углов A и B при бо­ко­вой сто­ро­не AB тра­пе­ции ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке F. Най­ди­те AB, если AF = 24, BF = 32.

Answer 1

Использовано свойство односторонних углов при параллельных прямых, теорема Пифагора

Answer 2

Обозначим точку пересечения биссектрисы угла C с боковой стороной AB как точку G. Также обозначим длину AB как x.

Поскольку AF и BF являются биссектрисами углов A и B соответственно, то они делят боковую сторону AB на две отрезка в отношении, равном отношению длин смежных сторон трапеции:

AB/BC = AF/CF (1) AB/AD = BF/DF (2)

Так как AD = BC (это следует из определения трапеции), то из (1) и (2) следует:

AB/BC = AF/CF = BF/DF

Таким образом, CF = (BC × AF)/AB и DF = (AD × BF)/AB.

Заметим, что AF + BF = AB, поэтому мы можем выразить AB через известные величины:

AB = AF + BF = 24 + 32 = 56

Теперь мы можем выразить CF и DF через AB и известные длины сторон трапеции:

CF = (BC × AF)/AB = (BC × 24)/56 DF = (AD × BF)/AB = (AD × 32)/56

Поскольку CF + DF = CD (диагональ трапеции), то мы можем выразить BC и AD через известные длины сторон трапеции и вычисленные значения CF и DF:

BC = (CD × CF)/(CF + DF) = (CD × 24 × AB)/(56 × CD - 24 × AD) AD = (CD × DF)/(CF + DF) = (CD × 32 × AB)/(56 × CD - 32 × BC)

Так как мы знаем, что AD = BC, мы можем сравнить эти два выражения и выразить AD через AB:

(CD × 32 × AB)/(56 × CD - 32 × BC) = (CD × 24 × AB)/(56 × CD - 24 × AD) 32/(56 - 32 × BC/CD) = 24/(56 - 24 × AD/CD) 32/(56 - 32 × BC/CD) = 24/(56 - 24 × BC/CD) 32 × (56 - 24 × BC/CD) = 24 × (56 - 32 × BC/CD) 32 × 56 - 32 × 24 × BC/CD = 24 × 56 - 24 × 32 × BC/CD 8 × 24 × BC/CD = 8 × 56 BC/CD = 3

Таким образом, мы находим BC и AD:

BC = x/3 AD = x

Зная, что BC + AD = CD, мы можем выразить CD через x:

CD = BC + AD = x/3 + x = 4x/3

Теперь мы можем выразить CF и DF через x:

CF = (BC × AF)/AB = (x/3 × 24)/56 = 2x/7