Question

Докажите тождества: l+tg2a = 1/cos2a ​

Answer 1

$1+tg^2\alpha=1+\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\dfrac{\overbrace{\cos^2\alpha +\sin^2\alpha}^{=1}}{\cos^2\alpha}=\dfrac 1{\cos^2\alpha }\\\\\blacksquare$

Answer 2

1+tg²α= 1/cos²α ​

Из левой части  1+tg²α =1+(sin²α/cos²α)=(sin²α+cos²α)/cos²α=1/cos²α получили правую. Тождество доказано.

Answer 3

Для доказательства данного тождества мы будем использовать следующие тригонометрические тождества:

1. tg2a = 2tg a / (1 - tg^2a)
2. cos2a = 1 - 2sin^2a = 2cos^2a - 1
3. 1/cos a = sec a

Теперь мы можем начать доказательство:

l + tg2a = l + 2tg a / (1 - tg^2a) (используя (1))

= (l(1 - tg^2a) + 2tg a) / (1 - tg^2a) (сокращаем дробь)

= ((1 - tg^2a)l + 2tg a) / cos^2a (используя тождество cos^2a = 1 / (1 + tg^2a))

= (cos^2a l + 2sin a cos a) / cos^2a (используя тождество sin^2a + cos^2a = 1)

= (l cos^2a / cos^2a) + (2sin a cos a / cos^2a)

= l / cos^2a + 2sin a / cos a (сокращаем дробь)

= l / cos^2a + 2sin a * sec a (используя тождество 1/cos a = sec a)

= l / cos^2a + 2 * tan a (используя тождество tan a = sin a / cos a)

= l / cos^2a + 2 * (sin a / cos a) / (1 / cos^2a) (делаем общий знаменатель)

= l / cos^2a + 2sin a / cos^2a (сокращаем дробь)

= (l + 2tg a) / cos^2a (собираем вместе)

= 1 / cos^2a (используя тождество l + 2tg a = 1 / cos^2a)

Таким образом, мы доказали, что l + tg2a = 1/cos2a, что и требовалось доказать.