Question

Докажите что если у параллелограмма диагональ делит угол на две равные части, то он является ромбом.

Answer 1

Смотри вложение.

Пусть АС биссектриса и диагональ в параллелограмме ABCD

 

тогда<BAC=<CAD, <BCA=<CAD

 

(как накрест лежащие углы для параллельных ВС и AD и секущей АС). Тогда,<BAC=<BCA

 

а значит  треугольник ABC
равнобедренный с основанием AC

Значит, AB=BC

По свойству параллелограмма

AB=CD,BC=AD

 

как противоположные стороны. Итак, все стороны параллелограмма ABCD равны, значит, он ромб. Что и требовалось доказать.

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение.

Предположим, у нас есть параллелограмм ABCD, и диагональ BD делит угол B на две равные части. Мы хотим доказать, что этот параллелограмм является ромбом.

1. В параллелограмме противоположные стороны равны. То есть, AB = CD и AD = BC.

2. По определению параллелограмма, противоположные углы равны. Значит, ∠B = ∠D.

3. Поскольку диагональ BD делит угол B на две равные части, мы можем сказать, что ∠ABD = ∠DBA.

4. Рассмотрим треугольник ABD. В этом треугольнике у нас есть два угла (∠ABD и ∠DBA), которые равны. Значит, треугольник ABD является равнобедренным.

5. В равнобедренном треугольнике ABD боковые стороны AD и BD равны. Значит, AD = BD.

6. Мы уже знаем, что AD = BC, так как у нас параллелограмм.

7. Из пункта 5 и пункта 6 следует, что AD = BD = BC.

8. Мы также знаем, что AB = CD, так как у нас параллелограмм.

9. Из пункта 7 и пункта 8 следует, что все стороны параллелограмма равны: AB = BC = CD = AD.

10. Если все стороны параллелограмма равны, то он является ромбом.

Таким образом, мы показали, что если диагональ параллелограмма делит угол на две равные части, то этот параллелограмм является ромбом.