Question

точки D и E- середины сторон треугольника abc соответственно. Прямая DE касательная для вписанной окружности треугольника ABC . Найдите периметр треугольника ADE если BC= 20 см. Даю 15 баллов

Answer 1

.............................................

Answer 2

Обозначим точку касания вписанной окружности с отрезком AB через F, а радиус вписанной окружности через r. Также обозначим отрезки AD и AE через x и y соответственно.

Поскольку DE является касательной к вписанной окружности, то EF и FD являются половинами соответствующих сторон треугольника ABC. Значит, EF = FD = (BC/2) = 10 см.

Также, поскольку точки D и E являются серединами сторон AB и AC, то AD = DB и AE = EC, то есть x = (AB/2) и y = (AC/2).

Теперь рассмотрим треугольник AFE. Он является прямоугольным, поскольку EF является радиусом вписанной окружности, а значит, AF^2 = AE * AD = xy.

Таким образом, периметр треугольника ADE равен AD + DE + AE = 2x + 2y + 2EF = 2(x + y + EF) = 2(AF + EF).

Найдем AF. Рассмотрим треугольник AFB. Он является прямоугольным, поскольку BF является радиусом вписанной окружности, а значит, AB^2 = AF^2 + FB^2 = AF^2 + r^2. Но мы знаем, что AB = BC = 20 см, а значит, AF^2 = AB^2 - r^2 = 20^2 - r^2 = 400 - r^2.

Таким образом, периметр треугольника ADE равен 2(AF + EF) = 2(sqrt(xy + r^2) + BC/2) = 2(sqrt((AB/2)(AC/2) + r^2) + BC/2).

Для решения задачи нам нужно знать радиус вписанной окружности. Он может быть найден по формуле r = S/p, где S - площадь треугольника ABC, а p - его полупериметр.

Площадь треугольника ABC равна S = (ABAC)/2 = (20x)/(220y)/2 = xy.

Полупериметр треугольника ABC равен p = (AB+AC+BC)/2 = 30 см.

Таким образом, радиус вписанной окружности равен r = S/p = xy/30.

Итак, периметр треугольника ADE равен 2(sqrt((AB/2)(AC/2) + (xy/30)^2) + BC/2) = 2(sqrt((10x10y)/4 + (xy/30)^2) + 10) = 2(sqrt(25/4 * xy + (xy/30)^