Question

3)На оснований AC равнобедренного треугольника ABC взяты точки E и D так, что AE=CD.Докажите, что BE=BD.

Answer 1

Рассмотрим треугольники АВЕ и СВD. Они равны по двум сторонам и углу между ними:
- АВ=СВ по условию;
- АЕ=CD по условию;
- углы А и С равны как углы при основании равнобедренного треугольника АВС.
У равных треугольников АВЕ и СВD равны соответственные стороны ВЕ и BD. 

Answer 2

Рассмотрим треугольник AED. У него две равные стороны AE и CD, а также угол AED равен углу BAC, так как они соответственно лежат на равных углах. Значит, треугольник AED равнобедренный, и у него равны углы AED и EAD.

Также рассмотрим треугольник BCD. У него две равные стороны CD и BD, а также угол BCD равен углу BAC. Значит, треугольник BCD равнобедренный, и у него равны углы BCD и CBD.

Теперь обратим внимание на угол EBC. Он равен углу ABD, так как они соответственно лежат на равных углах. Также углы EBC и ABD являются смежными, так как точки B, E и A лежат на одной прямой. Значит, углы EBC и ABD равны.

Теперь мы знаем, что углы EAD и CBD равны, а углы EBC и ABD равны. Значит, треугольники AED и BCD подобны по признаку углов, так как у них соответственные углы равны.

Отсюда следует, что соотношение длин сторон этих треугольников равно соотношению их высот, опущенных на одинаковые стороны. Из равнобедренности треугольников AED и BCD следует, что высоты, опущенные на боковые стороны, совпадают. Таким образом, BE=BD, что и требовалось доказать.