Question

Докажите, что в равностороннем треугольнике равны все его медианы, биссектрисы, высоты

Answer 1

Высота проведенная из вершины к основанию будет перпендикулярна соответственно она является высотой биссектрисой и мединой

Answer 2

Рассмотрим равносторонний треугольник ABC:

<img src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\triangle%20ABC" title="\triangle ABC" />

Медианы треугольника - это отрезки, соединяющие вершины треугольника с серединами противоположных сторон. Обозначим эти точки середины сторон как D, E и F, соответственно:

<img src="https://latex.codecogs.com/svg.image?AD,%20BE,%20CF" title="AD, BE, CF" />

Найдем длину медианы, проведенной из вершины A. Обозначим точку пересечения медиан как M:

<img src="https://latex.codecogs.com/svg.image?AM" title="AM" />

Для этого соединим точки M и D отрезком MD. Так как треугольник ABC равносторонний, то стороны AB, BC и AC равны между собой, а значит, отрезки BD и DC также равны между собой:

<img src="https://latex.codecogs.com/svg.image?BD=DC" title="BD=DC" />

Также отрезки MD и AD являются медианами треугольника BAC, поэтому они равны между собой:

<img src="https://latex.codecogs.com/svg.image?MD=AD" title="MD=AD" />

Из этих равенств следует, что треугольник BMD равнобедренный:

<img src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\triangle%20BMD" title="\triangle BMD" />

Так как у равнобедренного треугольника биссектриса угла при основании также является медианой, то отрезок BM является биссектрисой угла BAC:

<img src="https://latex.codecogs.com/svg.image?BM" title="BM" />

Аналогично можно доказать, что отрезки CE и AF также являются биссектрисами углов треугольника ABC.

Теперь рассмотрим высоты треугольника. Высота, опущенная из вершины A, проходит через точку пересечения медиан треугольника. Обозначим эту точку H:

<img src="https://latex.codecogs.com/svg.image?AH" title="AH" />

Так как отрезок AM является медианой, то точка H делит его пополам:

<img src="https://latex.codecogs.com/svg.image?AH=HM" title="AH=HM" />

Также можно заметить, что треугольник ABH подобен треугольнику ACF:

<img src="https://latex.codecogs.com/svg.image?\triangle%20ABH%20\sim%20\triangle%20ACF" title="\triangle ABH \sim