Question

Даны векторы а=2i-4k и b(3;-1;-2). Найдите значение m и n, при которых векторы р=2а-3b и c (m+n;m-n;2) коллинеарны.

Answer 1

p(x;y;z)

x=2*2-3*3=-5

y=2*0-3*(-1)=3

z=2*(-4)-3*(-2)=-2

p(-5;3;-2)

c(m+n;m-n;2)

векторы коллинеарны. если есть такое число k, что p=kc

распишу это для каждой координаты

-5=k(m+n); 3=k(m-n);-2=k*2;

значит k=-1

-5=-(m+n); m+n=5

3=-(m-n)=n-m

решая систему последних 2 уравнений

m=5-n и во второе

3=5-n-n

3=5-2n

2n=2

n=1; m=5-1=4

Ответ n=1;m=4

Answer 2

Чтобы векторы $\mathbf{p} = 2\mathbf{a} - 3\mathbf{b}$ и $\mathbf{c} = (m + n, m - n, 2)$ были коллинеарными, они должны быть пропорциональными друг другу. То есть, можно записать следующее уравнение:

$\mathbf{p} = \lambda \mathbf{c}$

где $\lambda$ - некоторая константа.

Подставим выражения для $\mathbf{p}$ и $\mathbf{c}$ в это уравнение:

$2\mathbf{a} - 3\mathbf{b} = \lambda (m + n, m - n, 2)$

Распишем векторы $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ с учетом заданных значений:

$\mathbf{a} = 2\mathbf{i} - 4\mathbf{k} = (2, 0, -4)$ $\mathbf{b} = (3, -1, -2)$

Подставим их значения в уравнение:

$2(2, 0, -4) - 3(3, -1, -2) = \lambda (m + n, m - n, 2)$

$(4, 0, -8) - (9, -3, -6) = \lambda (m + n, m - n, 2)$

$(-5, 3, -2) = \lambda (m + n, m - n, 2)$

Теперь сравним соответствующие компоненты слева и справа от равенства:

$-5 = \lambda (m + n) \quad (1)$ $3 = \lambda (m - n) \quad (2)$ $-2 = \lambda \cdot 2 \quad (3)$

Из уравнения (3) получаем значение $\lambda$:

$\lambda = \frac{-2}{2} = -1$

Теперь подставим полученное значение $\lambda$ в уравнения (1) и (2):

$-5 = -1 \cdot (m + n) \quad (1)$ $3 = -1 \cdot (m - n) \quad (2)$

Упростим уравнения:

$5 = m + n \quad (4)$ $3 = n - m \quad (5)$

Добавим уравнения (4) и (5) друг к другу:

$5 + 3 = m + n + n - m$

$8 = 2n$

$n = 4$

Теперь найдем значение $m$ с помощью уравнения (4):

$5 = m + 4$

$m = 1$

Таким образом, значения $m$ и $n$ равны 1 и 4 соответственно.