Question

Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN  и CM пересекаются в точке O, AN=12, CM=36. Найдите OM. ​

Answer 1

Ответ: 12 см

Объяснение:

На фото

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся свойством серединных перпендикуляров. Так как точки M и N являются серединами сторон AB и BC соответственно, то AM = MB и BN = NC.

Обозначим отрезок OM через x. Тогда MO = x, и также мы можем записать:

AO = AM + MO = MB + MO,

CO = CN + NO = NC + NO.

Заметим, что треугольники AOM и BOM подобны треугольнику ABC по принципу общей стороны, поскольку имеют две пары соответственных углов: углы AOM и BOM являются прямыми, а углы AMO и BMO являются соответственными углами. Поэтому мы можем записать:

AM/AB = MO/BC,

или, заменяя AM и BC на выражения, которые мы знаем:

(x + MB)/(2MB) = x/(2NC),

где мы использовали то, что NC = BN.

Решив уравнение относительно x, мы получим:

x + MB = MB(x/NC),

x(1 - MB/NC) = MB,

x = MB/(1 - MB/NC).

Теперь мы можем выразить MB через AO. Обратим внимание, что треугольники AOC и BOC подобны треугольнику ABC по принципу общей стороны, так как имеют две пары соответственных углов: углы AOC и BOC являются прямыми, а углы ACO и BCO являются соответственными углами. Поэтому мы можем записать:

AO/OC = AB/BC,

или, заменяя AB и BC на выражения, которые мы знаем:

AO/(36 - x) = 1/2,

где мы использовали то, что MB = AB/2 и NC = BC/2.

Решив уравнение относительно x, мы получим:

x = 24.

Таким образом, мы нашли, что OM = x = 24. Ответ: OM = 24.