Question

Через образующую цилиндра проведены две плоскости пересекающие цилиндр. Угол между плоскостями равен альфа, а площади получившихся сечений равны Q . Радиус основания цилиндра = R . Найдите объем цилиндра.

Answer 1

.....................................................

Answer 2

При пересечении плоскостью цилиндра образуются две фигуры, которые могут быть различными: круг и эллипс. Однако, поскольку площади получившихся сечений равны, это означает, что эти фигуры имеют одинаковую площадь Q.

Рассмотрим первое сечение. Если плоскость пересекает цилиндр вдоль его оси, то получившейся фигурой будет круг диаметра 2R. Площадь круга равна Q/2.

Рассмотрим второе сечение. Пусть плоскость пересекает цилиндр под углом α к его оси. Тогда получившаяся фигура будет эллипсом с полуосями a и b. Поскольку площади первого и второго сечений равны, имеем:

πR^2/2 = πab

Также из геометрии эллипса известно, что полуоси связаны соотношением:

a = R/cos(α/2), b = R

Тогда можно выразить a через b и α:

a = R/cos(α/2) = R/sqrt((1+cos(α))/2)

Теперь можно выразить V - объем цилиндра, используя формулу:

V = πR^2h

где h - высота цилиндра. Высота цилиндра равна расстоянию между двумя плоскостями. По определению, это высота эллипса с полуосями a и b:

h = 2b = 2R

Таким образом, получаем:

V = πR^2h = πR^2(2R) = 2πR^3

Ответ: объем цилиндра равен 2πR^3.