Question

Высота BD прямоуг треугольника равна 24 см и отсекает от гипотенузы АС отрезок DC равный 18 см . Найти АВ И cos угла А

Answer 1

По теореме о высоте к гипотенузе в прямоугольном треугольнике: BD^2=DC*AD, тогда: 576=18*AD. AD=576/18=32. В прямоуг.треугольнике BDA по т.Пифагора: AB=кореньиз(576+1024)=40. Косинус угла А равен АВ/АС=40/(18+32)=40/50=4/5.

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника АВС:

AB^2 + BC^2 = AC^2,

где AB - катет треугольника АВС, BC - второй катет, АС - гипотенуза.

Так как BD - высота, она перпендикулярна к АС, а значит, треугольники АBD и СBD подобны треугольнику АСВ.

Используя подобие треугольников, найдем соотношения между сторонами треугольников:

AB/BD = AC/BC, BC/BD = AC/AB.

Мы знаем высоту BD и отрезок DC, поэтому можем найти длину другого отрезка AC: AC = AD + DC = AB*cosA + DC.

Заменим AC и BC в уравнении Пифагора соответствующими выражениями:

AB^2 + (ABcosA + DC)^2 = (ABcosA + DC + 24)^2.

Раскроем скобки и упростим выражение:

AB^2 + AB^2cos^2A + 2ABDCcosA + DC^2 = AB^2cos^2A + 48AB*cosA + 576.

Сократим AB^2*cos^2A с обеих сторон:

AB^2 + 2ABDCcosA + DC^2 = 48AB*cosA + 576.

Перенесем все члены с AB в левую часть уравнения:

AB^2 - 48ABcosA + DC^2 - 2ABDC*cosA + 576 = 0.

Решим полученное квадратное уравнение относительно AB:

AB = [48cosA ± sqrt((48cosA)^2 - 4*(DC^2 - 2DC24 + 576))]/2.

AB = 24cosA ± sqrt(576cos^2A - (DC - 24)^2).

AB = 24cosA ± sqrt(576cos^2A - 144).

AB = 24cosA ± 24sqrt(cos^2A - 1/4).

AB = 24cosA ± 24sinA.

Так как AB не может быть отрицательным, выберем положительное решение:

AB = 24cosA + 24sinA.

Найдем теперь cosA. Используем соотношение между сторонами треугольника АВС:

cosA = AB/AC = AB/(AB*cosA + DC).

cosA = 24cosA/(24cosA + 18).

cosA = 4/7.

Итак, ответ: AB = 24cosA + 24sinA = 24*(cosA + sinA) = 24*sqrt(2)*sin(A + 45°) ≈ 45.25 см, cosA = 4/7.