Question

В основании пирамиды МАВС лежит треугольник АВС, у которого АВ=а и угол АСВ=150°. Боковые ребра наклонены к основанию под углом 45°. Найдите высоту пирамиды.

Answer 1

MO - высота пирамиды; AO, BO, CO - проекции боковых ребер на основание. Угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и ее проекцией на плоскость ⇒ углы MAO, MBO, MCO =45°, то есть треугольники MAO, MBO, MCO - равные равнобедренные прямоугольные треугольники,  MO=AO=BO=CO⇒O центр описанной окружности для ΔABC ⇒ по теореме синусов AB/sin C=2R⇒
R=a/(2sin 150°)=a⇒MO=a

Ответ: a

Answer 2

Для решения задачи нам потребуется знать высоту треугольника АВС, а также длину бокового ребра пирамиды.

Высота треугольника АВС может быть найдена по формуле для высоты равностороннего треугольника:

h = (a√3)/2

Длина бокового ребра пирамиды может быть найдена с помощью простой геометрии: боковые ребра наклонены к основанию под углом 45°, что означает, что они образуют с основанием равнобедренный прямоугольный треугольник со стороной а. Тогда длина бокового ребра будет равна:

l = a√2

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту пирамиды. Для этого нам нужно найти расстояние от вершины пирамиды до середины основания, то есть расстояние от вершины до точки М на рисунке ниже:

Copy code
М

/|
/ |
/ |
A---|---B \ | / \ | / |/ C

Расстояние AM можно найти с помощью теоремы Пифагора в треугольнике АМС:

AM² = AC² - CM²

AC = (2/3)l, так как треугольник АВС является равносторонним с стороной а и угол АСВ равен 150°, то есть SC = (1/2)AB = (1/2)a, и AC = AS + SC = a + (1/2)a = (3/2)a. Следовательно,

AC = (3/2)a CM = (1/2)AC = (3/4)a

Тогда

AM² = AC² - CM² = [(3/2)a]² - [(3/4)a]² = (9/4)a²

AM = (3/2)a√2

Теперь мы можем найти высоту пирамиды, используя теорему Пифагора в треугольнике АМВ:

h² = AB² - AM² = a² - [(3/2)a√2]² = a² - (27/8)a² = (1/8)a²

h = (1/2)a√2

Таким образом, высота пирамиды равна (1/2)a√2.