Question

Сформулювати і довести теорему про коло, описане навколо трикутника.

Answer 1

Коло називають описаним навколо трикутника, якщо воно проходить через усі вершини трикутника.При цьому трикутник називають вписаним у коло. На малюнку 220 коло описано навколо ∆АВС.Центром кола, описаного навколо трикутника, є точка перетину серединних перпендикулярів до його сторін.На малюнку 220 центр описаного навколо трикутника АВС кола - точка О є точкою перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника АВ, АС і ВС.Легко зрозуміти, що серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються в одній точці. Загальні формули для знаходження радіуса описаного кола будуть розглянуті у наступних параграфах. В цьому параграфі дамо формулу для обчислення радіуса кола описати навколо прямокутного трикутника: Центром кола, описаного навколо прямокутного трикутника, є середина гіпотенузи, а радіус кола дорівнює половині гіпотенузи.

Answer 2

Рисунок, формулировка и доказывание во вложениях.  

Answer 3

Теорема про коло, описане навколо трикутника стверджує, що існує єдине коло, яке проходить через вершини трикутника. Це коло називається описаним колом трикутника.

Для доведення теореми розглянемо трикутник ABC та його описане коло з центром O та радіусом R. Нехай D буде серединою сторони BC, а E та F - точки перетину променів AO та BO з колом відповідно.

Тоді, оскільки кут ADC є прямим кутом, то за теоремою про кут вписаної дуги маємо, що кут AEB дорівнює половині кута AOC. Аналогічно, кут BFA дорівнює половині кута BOC. Але кути AOC та BOC дорівнюють 2кутам ABC та ACB відповідно.

Отже, маємо, що кути AEB та BFA дорівнюють кутам ABC та ACB відповідно. З цього випливає, що трикутники AEB та BFA подібні до трикутника ABC за двома кутами, тобто за теоремою про подібні трикутники маємо:

AE/AC = AB/AF

BF/BC = AB/AE

Отже, маємо AB^2 = AE × AF = BD × BC, що означає, що точки E, F, D лежать на одному колі. Адже, коли точки E та F збігаються, вони знаходяться на перпендикулярній бісектрисі сторони BC та, отже, лежать на колі з центром в точці D. Таким чином, описане коло трикутника є єдиним колом, яке проходить через всі три вершини трикутника.