Question

Диагонали ромба относятся как 3:4. Периметр ромба равен 200. Найдите высоту ромба. Обьясните пожалуйста

Answer 1

100 способов сделать что-то простое :)

Чтобы найти высоту, надо сначала найти площадь. А чтобы найти площадь, надо найти размеры сторон - и диагоналей тоже. 

Ромб делится диагоналями на четыре равных прямоугольных треугольника. У каждого из них катеты - это половинки диагоналей, а гипотенуза равна боковой стороне. Боковая сторона задана - это 200/4 = 50.

Далее речь идет об этом прямоугольном треугольнике.

Поскольку катеты отностятся как 3:4, то это "египетский" треугольник, то есть треугольник, подобный треугольнику со стронами 3,4,5. Поскольку гипотенуза равна 50, катеты равны 30 и 40.

Технически это можно проделать и "тупым" способом, и не одним :) - можно например так.

Пусть один катет 3*х тогда другой 4*х, тогда

3^2*x^2 + 4^2*x^2 = 50^2;

x^2 = 100; x = 10; катеты 30 и 40.

Площадь такого треугольника 30*40/2 = 600;

Площадь всего ромба в 4 раза больше, то есть 2400;

Площадь равна высоте, умноженной на боковую сторону, то есть высота равна 

2400/50 = 48.

 

Такой вот неприятный случай, простое и очевидное замечание вызвало, мягко говоря, сильное непонимание. Придется кое что объяснить.

Если очень трудно сосчитать площадь АВС (обозначения на рисунке sana2008), как АС*ВО/2 = 60*40/2 = 1200, или на тот случай, когда трудно сосчитать площадь ромба как АС*BD/2 = 2400, то
в этом случае, конечно, надо применить формулу Герона, она очень кстати.

Применяем её для треугольника АВС. АВ =ВС = 50, АС = 60, p = (50+50+60)/2 = 80;

р - ВС = р - АВ = 30

р - АС = 20

S^2 = 80*30*30*20 = (1200)^2

S = 1200
Ну и конечно - графически. Только вот сколько не строй "египетский" треугольник с гипотенузой 50, у него высота все равно 24. А это как раз расстояние от центра ромба до стороны, высота ромба в 2 раза больше. 

Ошибка у sana2008 тривиальная, она почему то использовала АС = 30 и получила неверный результат, хотя отлично знала что АС = 60. Это бывает... но зачем же упрямиться :)))))

Answer 2

Пусть диагонали ромба имеют длины 3x и 4x (где x - некоторая константа). По свойствам ромба, его стороны равны между собой, поэтому каждая сторона ромба имеет длину равную половине периметра:

s = (1/2)P = (1/2) × 200 = 100

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной одной из диагоналей ромба, высотой ромба и половиной одной из сторон ромба:

Diagram

Здесь высота ромба обозначена как h. По теореме Пифагора:

(4x/2)^2 = h^2 + (s/2)^2

Из этого уравнения можно выразить x:

x = √(h^2 + 25)

А также выразить 3x в терминах h:

3x = 3√(h^2 + 25)

Так как сумма диагоналей ромба равна периметру, то:

3x + 4x = 200

7x = 200

x = 200/7

Теперь мы можем выразить h:

h^2 = (4x/2)^2 - (s/2)^2 = (2x)^2 - 50^2 = (4x^2 - 2500)

h = √(4x^2 - 2500) = √[(4(200/7)^2 - 2500)] ≈ 37.81

Таким образом, высота ромба равна примерно 37.81.