Question

У прямокутнику ABCD діагональ BD в два рази більше сторони CD. Знайти гострий кут між діагоналями прямокутника і периметр трикутника СOD, якщо відстань від точки О перетину діагоналей прямокутника до сторони ВС дорівнює 6 см. (8-9 клас, можна українською або російською)

Answer 1

Решение на фото/////

Answer 2

Давайте розв'яжемо задачу крок за кроком.

Позначимо сторону CD як "x". Тоді довжина сторони BD буде 2x, оскільки діагональ BD в два рази більше сторони CD.

Застосуємо теорему Піфагора до прямокутного трикутника BCD:

BD^2 = BC^2 + CD^2

(2x)^2 = BC^2 + x^2

4x^2 = BC^2 + x^2

3x^2 = BC^2

BC = sqrt(3x^2) = sqrt(3)x

Зауважимо, що прямокутник ABCD має пару протилежних гострих кутів, оскільки всі його кути не прямі.

Знайдемо гострий кут між діагоналями. У прямокутнику ABCD діагоналі є векторами-діагоналями, які можна уявити як вектори AB і AD. Гострий кут між двома векторами можна обчислити за допомогою формули:

cos(θ) = (AB • AD) / (|AB| * |AD|),

де AB • AD - скалярний добуток векторів AB і AD, |AB| і |AD| - довжини векторів AB і AD.

Знайдемо вектори AB і AD: AB = BC - BA = sqrt(3)x - x = (sqrt(3) - 1)x, AD = DC + BA = x + x = 2x.

Знайдемо скалярний добуток AB • AD: AB • AD = (sqrt(3) - 1)x * 2x = 2(sqrt(3) - 1)x^2.

Знайдемо довжини векторів AB і AD: |AB| = sqrt((sqrt(3) - 1)x)^2 = (sqrt(3) - 1)x, |AD| = 2x.

Підставимо ці значення в формулу для косинуса гострого кута: cos(θ) = (2(sqrt(3) - 1)x^2) / ((sqrt(3) - 1)x * 2x) = (sqrt(3) - 1)x / x = sqrt(3) - 1.

Отже, гострий кут між діагоналями прямокутника ABCD дорівнює arccos(sqrt(3) - 1).

Щодо периметру трикутника COD, нам потрібно знайти його довжину. Оскільки CD і OD - рівні сторони прямокутника ABCD, то CD = OD = x.

За т