Question

ДАЮ 25 БАЛОВ!!! Помогите решить легкую задачу: 1) В окружность радиус которой равен 10 см. Вписан прямоугольный треугольник, один из катетов которых равен 16 см. Найдите площадь этого треугольника. 2) Из двух пересекающихся хорд одна равна 40 см, а отрезки другой хорды равны 48 см и 3 см. Определите отрезки первой хорды. 3) Четырёхугольник ABCD описан около окружности. Найдите стороны AB и CD, если BC =6 см, AD=9AB в 2 раза больше CD. Пожалуйста с ЧЕРТЕЖОМ И ДАНО. Задачи ПРОСТЫЕ.

Answer 1

1) т.к. треугольник прямоугольный -- гипотенуза =2 радиусам = 20
По теореме Пифагора находим второй катет. 
sqrt(20^2-16^2)=sqrt((20-16)(20+16))=sqrt(4*36)=12
Дальше по стандартной  формуле S=1/2 a*h= 12*16/2 =6*16=96

2) Ну чтож, нужны объяснения -- формула пересекающихся хорд, определение из поисковика: 
Если две хорды  окружности, AB и CD пересекаются  в точке M, то произведение отрезков одной хорды  равно произведению отрезков другой хорды : AM*MB = CM*MD
 Решение: 
Первая хорда разбивается на 2 отрезка, пусть x, y ,тогда получаем систему
{x+y=40 ,выражаем x : x=40-y;
{x*y=48*3
(40-y)*y=48*3;
40y-y^2=48*3;
y^2-40y+48*3=0;
D=40^2-48*3*4=1032
y1=(40+32)/2=36
y2=(40-32)/2=4
x1*36=48*3;
x1=4;
x2*4=48*3;
 x2=36;
Как видно: х1=у2, х2=у1, отсюда следует, что возможно лишь одно разбиение : 4 и 36 
Ответ: 4 и 36 

3) У вас некорректные условия, запятой не хватает. По теореме :  
Если четырехугольник описан около окружности, то сумма противоположных сторон равны. AB+CD=BC+AD,
BC =6 см, AD=9
AB =2  CD. 
AB+CD=6+9; 
3CD=15
CD=5;
AB=5*2=10

Answer 2

1. Обозначим катеты прямоугольного треугольника как a и b, а гипотенузу как c. Так как треугольник вписан в окружность радиуса 10 см, то гипотенуза c является диаметром окружности и равна 20 см. По теореме Пифагора a^2 + b^2 = c^2. Из условия известно, что a = 16 см. Подставляя значения, получаем:

16^2 + b^2 = 20^2 256 + b^2 = 400 b^2 = 144 b = 12

Таким образом, другой катет равен 12 см. Площадь треугольника равна (ab)/2 = (1612)/2 = 96 см^2.

2. Обозначим отрезки первой хорды как a и b, а отрезки второй хорды как c и d. Так как две хорды пересекаются внутри окружности, то произведение отрезков каждой хорды равно:

ab = cd

Из условия известно, что c = 48 см, d = 3 см. Подставляя значения, получаем:

ab = 483 a*b = 144

Так как одна из хорд равна 40 см, то сумма отрезков этой хорды равна:

a + b = 40

Из системы уравнений a*b = 144 и a + b = 40 можно выразить значения a и b:

a = 8, b = 18

Таким образом, отрезки первой хорды равны 8 см и 18 см.

3. Обозначим радиус описанной окружности как R. Тогда сторона четырехугольника AB = 2Rsin(∠ACB), а сторона CD = 2Rsin(∠ADC). Так как четырехугольник ABCD описан около окружности, то диагонали AC и BD являются диаметрами окружности и перпендикулярны друг другу. Также из условия известно, что AD = 9AB и CD = 0.5AD = 4.5AB.

Рисуем четырехугольник ABCD, проводим диагонали AC и BD, а также перпендикуляр к BD через точку D, обозначенный на рисунке как DE.

Так как треугольник ABC прямоугольный, то sin(∠ACB) = BC/AB = 6/AB, а cos(∠ACB) = AC/AB = 8/AB.