Question

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см,острый угол равен альфа Найдите биссектрису проведённую из вершины этого угла

Answer 1

Пусть ΔАВС - прямоугольный, ∠С=90°, АВ=10 см, ∠А=α, АЕ - биссектриса ∠А.
1) Находим катет АС=10*cosα.
2) Рассмотрим ΔАСЕ - прямоугольный, ∠САЕ=α/2, АС=10*cosα,
cos(α/2)=AC/AE,
AE=AC/cos(α/2)=10*cosα/cos(α/2).
Ответ: 10*cosα/cos(α/2).

Answer 2

Для нахождения биссектрисы острого угла в прямоугольном треугольнике нам понадобятся некоторые геометрические свойства.

Пусть острый угол равен α, а гипотенуза равна 10 см. Тогда катеты треугольника можно обозначить как a и b, где a соответствует углу α.

Используя свойства прямоугольного треугольника, мы знаем, что синус α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, то есть sin α = a / 10.

Также известно, что биссектриса острого угла делит противолежащий катет на отрезки, пропорциональные прилежащим катетам. Обозначим эти отрезки как x и y. Тогда мы можем записать пропорцию:

x / y = a / b.

Поскольку a / b = sin α, мы получаем:

x / y = sin α.

Теперь мы можем использовать теорему синусов для выражения прилежащего катета b через sin α:

b = 10 * sin (90° - α) = 10 * cos α.

Теперь мы можем выразить отношение x / y через cos α:

x / y = sin α = sin α / (10 * cos α) = 1 / (10 / cos α) = cos α / 10.

Теперь у нас есть отношение x / y, и мы знаем, что x + y = b = 10 * cos α. Мы можем записать систему уравнений:

x / y = cos α / 10, x + y = 10 * cos α.

Решив эту систему, мы найдем значения x и y, которые соответствуют отношению, в котором биссектриса делит противолежащий катет.

Зная x и y, мы можем найти длину биссектрисы, используя теорему Пифагора:

биссектриса² = x * y.

Таким образом, выражение для биссектрисы будет:

биссектриса = sqrt(x * y).