Question

Найдите углы, которые образует высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, с катетами, если один из острых углов треугольника равен 37 градусов

Answer 1

Высота прямоугольного треугольника

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, может быть найдена тем или иным способом в зависимости от данных в условии задачи.

 Длина высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, может быть найдена по формуле

  

или, в другой записи,

  

где BK и KC — проекции катетов на гипотенузу (отрезки, на которые высота делит гипотенузу).

Высоту, проведенную к гипотенузе, можно найти через площадь прямоугольного треугольника. Если применить формулу для нахождения площади треугольника

  

(половина произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне) к гипотенузе и высоте, проведенной к гипотенузе, получим:

  

Отсюда можем найти высоту как отношение удвоенной площади треугольника к длине гипотенузы:

  

Так как площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

  

  

То есть длина высоты, проведенной к гипотенузе, равна отношению произведения катетов к гипотенузе. Если обозначить длины катетов через a  и b, длину гипотенузы — через с, формулу можно переписать в виде

  

Так как радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы, длину высоты можно выразить через катеты и радиус описанной окружности:

  

Answer 2

В прямоугольном треугольнике угол между высотой, проведенной к гипотенузе, и катетом является дополнительным углом к острому углу треугольника.

Пусть острый угол треугольника равен 37 градусам.

Тогда угол между высотой и одним из катетов будет 90 - 37 = 53 градуса.

Таким образом, углы, которые образует высота прямоугольного треугольника с катетами, равны 53 градуса и 37 градусов.