Question

две окружности радиусом 3 и 12 касаются внешним образом.найти площадь трапеции ограниченной двумя общими касательными к этим окружностям и прямыми

Answer 1

Я считал, что прямые, на которых так оборвано условие - это касательные, проведенные к обеим окружностям перпендикулярно линии центров так, что обе окружности лежат ВНУТРИ трапеции. 

Хотя тут возможны варианты - например, если основания проходят через центры окружностей. Или - через точки касания. Но в любом случае перпендикулярно линии центров, иначе смысла решать нет. Если я не так понял ваше условие - вы сами виноваты, надо полностью его публиковать. :) Впрочем, уточняйте, решу еще:))

 

 

Пусть касательные пересекаются в точке А. Про ведем радиусы в точки касания ОДНОЙ касательной (О1К1 и О2К2), линию центров (от нижнего основания трапеции вплоть до А), и прямую II касательной АК1, из центра малой окружности О2 до пересечения с О1К1.Получился прямоугольниый треугольник, гипотенуза равна

R+r, малый катет R - r.

sin(Ф) = (R-r)/(R+r); Ф - угол между касательной АК1 и линией центров. 

cos(Ф) = корень(1 - (R-r)^2/(R+r)^2) = 2*корень(R*r)/(R+r);

tg(Ф) = (R - r)/(2*корень(R*r));

Расстояние от А до малого основания трапеции

= АО2 - r = r/sin(Ф) - r = 2*r^2/(R-r);

Аналогично расстояние до большого основания  

=  2*r^2/(R-r) + 2*(R+r) = 2*R^2/(R-r); 

Умножаем эти расстояния на tg(Ф), получаем ПОЛОВИНЫ оснований, складываем, получим среднюю линюю, умножим на высоту трапеции 2*(R+r); получим площадь трапеции.

Малое основание b = 2*(2*r^2/(R-r))*(R - r)/(2*корень(R*r))= 2*r^2/корень(R*r);

Большое а =  2*R^2/корень(R*r); 

Ответ S = 2*(R^2 + r^2)*(R+r)/корень(R*r); 

При R = 12, r =3, S = 765.

 

Можно было бы разбить на 2 трапеции, описанные вокруг окружностей, и использовать, что у них боковая сторона равна средней линии... Это тоже вариант...

 

Answer 2

Чтобы найти площадь трапеции, ограниченной двумя общими касательными к окружностям и прямыми, нужно определить длины оснований и высоту трапеции.

Обозначим центры окружностей как O₁ и O₂, а точки касания касательных с окружностями как A, B, C и D (где A и D - точки касания между меньшей окружностью и касательной, B и C - точки касания между большей окружностью и касательной). Обозначим также точку пересечения отрезков AD и BC как E.

Сначала найдем длины оснований трапеции. Так как касательная к окружности проходит через центр окружности, отрезки OA₁ и OB равны радиусам окружностей: OA₁ = 3 и OB = 12.

Затем найдем длину отрезка AE, который является высотой трапеции. Треугольник O₁EA прямоугольный, так как OA₁ - радиус окружности, а AE - перпендикулярная касательная. Зная, что OA₁ = 3 и A₁E - радиус большей окружности, которая равна 12, мы можем применить теорему Пифагора:

OE² = OA₁² + A₁E² OE² = 3² + 12² OE² = 9 + 144 OE² = 153 OE = √153 (приблизительно 12.37)

Теперь, имея длины оснований (OA₁ = 3 и OB = 12) и высоту (AE = √153), мы можем найти площадь трапеции по формуле:

S = (a + b) * h / 2 S = (OA₁ + OB) * AE / 2 S = (3 + 12) * √153 / 2 S = 15 * √153 / 2 S ≈ 55.34

Таким образом, площадь трапеции, ограниченной двумя общими касательными к окружностям и прямыми, составляет приблизительно 55.34 квадратных единиц.