Question

Даю много баллов!!!!! Касательные к окружности в точках В и С пересекаются в точке А. Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник АВС, совпадает с серединой дуги ВС, расположенной внутри треугольника.

Answer 1

Если О - центр исходной окружности, а М - середина дуги BC, то ∠BCM=∠BOM/2 (т.к. угол вписанный в окр. равен половине дуги, на которую он опирается), ∠MCA=∠MOC/2 (т.к. угол  между касательной и хордой из точки касания равен половине угла, который стягивает хорда). Т.к. ∠BOM=∠COM (у нас М - середина дуги BC), то ∠BCM=∠MCA. Т.е. MC - биссектриса  угла BCA. Аналогично, BM - биссектриса угла ABC. Т.е. середина дуги лежит на пересечении биссектрис треугольника ABC, т.е. совпадает с центром вписанной окружности.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения рассмотрим треугольник АВС и его вписанную окружность.

Пусть точка I обозначает центр вписанной окружности треугольника АВС, а точки M и N - середины дуги ВС, расположенной внутри треугольника, где M находится на дуге ВС, а N - на дуге BC, не содержащей точку А.

Так как BC - касательная к окружности, то угол АCB является прямым углом, и следовательно, угол АВС является половиной центрального угла, образованного дугой ВС. Аналогично, угол АСВ является половиной центрального угла, образованного дугой BC.

Так как угол АВС является половиной центрального угла, его мера равна половине меры дуги ВС. Аналогично, угол АСВ имеет меру, равную половине меры дуги BC.

Поскольку углы АВС и АСВ равны половинам мер соответствующих дуг ВС и BC, соответственно, эти углы равны между собой.

Таким образом, угол АВС равен углу АСВ. Из этого следует, что треугольники АВI и АСI подобны, так как у них два угла при вершине А равны.

Поскольку треугольники АВI и АСI подобны, их стороны пропорциональны. Следовательно, AI/AС = BI/BC.

Но BI = CI, так как точки В и С являются точками пересечения касательных к окружности.

Следовательно, AI/AС = CI/BC.

Из этого следует, что AI = CI, так как AI/AС = CI/BC, и BC > AС.

Таким образом, центр окружности, вписанной в треугольник АВС, совпадает с серединой дуги ВС, расположенной внутри треугольника.