Question

Точки A и B делят диагональ MK параллелограмма MNKP на три равные части. Докажите, что NAPB-параллелограмм

Answer 1

Объяснение:

Свойство параллелограмма: диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

NO = OP

МО = ОК.

MA + AO = OB + BK

MA = BK по условию, значит и

АО = ОВ.

Признак параллелограмма: если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.

А в четырехугольнике NAPB

    NO = OP и

    АО = ОВ, значит

NAPB - параллелограмм.

Answer 2

Чтобы доказать, что четырехугольник NAPB является параллелограммом, нужно показать, что противоположные стороны параллельны и равны.

Поскольку A и B делят диагональ MK на три равные части, мы можем сказать, что:

AM = MB AK = KC

Теперь рассмотрим треугольник MKN. Мы знаем, что AK || MN (так как AK делит MK на равные части), а также AM || NK (так как AM делит MK на равные части). Таким образом, по определению параллельных линий, AMNK - параллелограмм.

Теперь рассмотрим треугольник KPB. Поскольку AK || MN, а MB || KN, по транзитивности параллельных линий получаем, что AK || MB. Аналогично, AM || NK, и поэтому AM || KP. Таким образом, по определению параллельных линий, AKNP - параллелограмм.

Из предыдущих выводов мы можем заключить, что AMNK и AKNP являются параллелограммами. Поскольку MN является диагональю параллелограмма AMNK, то противоположные стороны AM и NK равны. Аналогично, KP является диагональю параллелограмма AKNP, и противоположные стороны AM и KP равны.

Таким образом, мы получаем:

AM = NK AM = KP

Из этих равенств следует, что NK = KP.

Теперь рассмотрим треугольник NAB. У нас есть следующие равенства:

AM = MB (из условия) NK = KP (как мы только что доказали)

Теперь посмотрим на стороны треугольника NAB. Из равенства AM = MB следует, что AB || MN. Из равенства NK = KP следует, что NA || KP. Таким образом, по определению параллельных линий, NABP - параллелограмм.

Таким образом, мы показали, что NAPB является параллелограммом, так как его противоположные стороны параллельны и равны.