Question

Помогите пожалуйста: Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник — квадрат.(Желательно с рисунком)

Answer 1

Т.к. для того, чтобы в четырёхугольник можно было вписать окружность, необходимо, чтобы суммы противоположных сторон были равны, то тогда, обозначив одну сторону за a, а вторую - b, получим следующее:
a+a=b+b
2a=2b
a=b.
Значит, данный прямоугольник является квадратом, т.к. его противоположные и смежные стороны равны и углы между ними равны 90°.

Answer 2

Для начала, давайте предположим, что у нас есть прямоугольник, в который можно вписать окружность. Пусть этот прямоугольник имеет стороны a и b (где a > b). Обозначим радиус вписанной окружности как r.

Чтобы окружность была вписана в прямоугольник, её центр должен совпадать с центром прямоугольника. Пусть центр окружности находится в точке O.

Согласно условию, окружность вписана в прямоугольник:

1. Диаметр окружности равен меньшей стороне прямоугольника, то есть 2r = b.

2. Диагональ прямоугольника равна диаметру окружности, то есть a^2 + b^2 = (2r)^2.

Теперь рассмотрим квадрат, в который также можно вписать окружность. Пусть сторона квадрата равна c (c > r).

Для квадрата, в который вписана окружность, выполняются следующие условия:

3. Диаметр окружности равен стороне квадрата, то есть 2r = c.

4. Диагональ квадрата равна диаметру окружности, то есть c^2 + c^2 = (2r)^2.

Из условий 1) и 3) следует, что b = c, так как 2r = b = c.

Теперь мы можем сравнить условия 2) и 4):

a^2 + b^2 = (2r)^2 и c^2 + c^2 = (2r)^2.

Подставляя b = c, получаем:

a^2 + b^2 = c^2 + c^2.

Так как a^2 + b^2 = 2c^2, это означает, что a^2 = c^2.

Из этого следует, что a = c, так как стороны не могут быть отрицательными.

Таким образом, мы доказали, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник является квадратом.

Ниже приведен рисунок, иллюстрирующий вписанную окружность в прямоугольник:

luaCopy code
     -----------------------
    |                       |
    |        -----------    |
    |       |           |   |
    |       |           |   |
    |       |     O     |   |
    |       |           |   |
    |       |           |   |
    |        -----------    |
    |                       |
     -----------------------

Где O - центр окружности, а a и b - стороны прямоуг