Question

Бічна сторона рівнобічної трапеції, описаної навколо кола, дорівнює а , а один із кутів 60°. Знайдіть площу трапеції.

Answer 1

Средняя линия равнобокой трапеции AВСD, в которую можно вписать окружность равна боковой стороне а ( по теореме об отрезках касательной , проведённой к окружности из одной точки).
BH⊥AD , ΔABH:  BH=h=высота трапеции
 h=a·sin60°=a·√3/2
S=a·a√3/2=a²·√3/2

Answer 2

Для вирішення цієї задачі нам знадобиться трохи геометрії та виведення деяких формул.

Дано, що рівнобічна трапеція описана навколо кола. Зауважимо, що коло може бути вписане в цю трапецію. Позначимо центр кола як O і з'єднаємо центр кола з вершинами трапеції. Оскільки один із кутів трапеції дорівнює 60°, то всі три вершини, утворені з центром кола, також утворюють кут 60°. Тобто ми отримуємо рівносторонній трикутник OAB, де А і В - вершини трапеції.

Також позначимо середини сторін трапеції як С і D. Оскільки сторона трапеції описана навколо кола, вона є дотичною до кола. З цього випливає, що промені, проведені з центру кола до точок дотику (точок С і D), будуть перпендикулярними до відповідних сторін трапеції.

Тепер давайте розглянемо прямокутний трикутник OCD. Він має прямий кут при вершині C, оскільки промінь OC перпендикулярний до сторони трапеції, і сторону CD, яка є половиною однієї з основ трапеції (основою є сторона, що має дотик до кола). Також сторона OC є радіусом кола, тому вона має довжину, рівну а.

За теоремою Піфагора маємо:

OD^2 = OC^2 - CD^2

Так як трикутник OCD є прямокутним і OD - радіус кола, то OD = OC/2. Замінюємо OD виразом OC/2:

(OC/2)^2 = OC^2 - CD^2

OC^2/4 = OC^2 - CD^2

3OC^2/4 = CD^2

Також за властивостями рівнобічної трап