Question

Основа піраміди – трикутник зі сторонами 2 см, √3 см і 2 см. Бічні ребра піраміди утворюють з площиною основи кути 60°. Знайти об’єм піраміди.

Answer 1

Дана пирамида SАВС, АВ = ВС = 2, АС = √3.
Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60 градусов.

Примем проекцию точки S на основание за О, середину АС за Д.

ВД = √(2² - (√3/2)²) = √(16-3)/4) = √13/2.
Площадь основания So = (1/2)AC*ВД = (1/2)*√3*(√13/2) = √39/4.
Так как боковые рёбра имеют одинаковый угол наклона к основанию, значит, они и их проекции на основание равны между собой.
АО = R = (a²b)/(4S) = (2²*√3)/(4*(√39/4)) = 4√13/13.
Высота Н пирамиды, как катет против угла в 60 градусов, равна:
Н = R*tg 60° = 4√39/13.
Тогда объём пирамиды равен:
V = (1/3)SoH = (1/3)*(√39/4)*(4√39/13) = 1.

Answer 2

Щоб знайти об'єм піраміди, використаємо формулу:

V = (1/3) * S * h,

де V - об'єм піраміди, S - площа основи, а h - висота піраміди.

Спочатку знайдемо площу основи піраміди. За даними, основа - це трикутник зі сторонами 2 см, √3 см і 2 см. Для обчислення площі трикутника використаємо формулу Герона:

S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)),

де p - півпериметр трикутника, a, b, c - довжини сторін трикутника.

Обчислимо півпериметр: p = (a + b + c) / 2.

Замінивши значення, отримуємо: p = (2 + √3 + 2) / 2 = (4 + √3) / 2 = 2 + √3/2.

Тепер обчислимо площу основи: S = √((2 + √3/2) * ((2 + √3/2) - 2) * ((2 + √3/2) - √3) * ((2 + √3/2) - 2)).

Проведемо обчислення: S = √((2 + √3/2) * (√3/2) * (√3/2) * (√3/2)) = √(3/4) = √3/2.

Тепер нам потрібно знайти висоту піраміди. За умовою, бічні ребра піраміди утворюють з площиною основи кути 60°. Так як основа - це рівносторонній трикутник, висота піраміди спускається з центру основи до середини однієї з його сторін.

Висота рівностороннього трикутника можна обчислити за формулою: h = √(3/4) * a,

де a - довжина сторони рівностороннього трикутника.

Підставляючи значення, отримуємо: h = √(3/4) * 2 = √3.

Тепер ми маємо всі необхідні значення для обчислення об'єму піраміди:

V = (1/3) * (√3