Question

Найдите целочисленный прямоугольный треугольник с гипотенузой , равной 2018см.

Answer 1

Целочисленный прямоугольный треугольник, это так называемая "пифагорова тройка" : a,b,c ∈ N, для которой выполняется равенство: a² + b² = c²

Согласно формуле Евклида, для любой пары натуральных чисел m и n (m>n) целые числа: $\boldsymbol {a=m^2-n^2,~~b=2mn,~~c=m^2+n^2}$ являются пифагоровой тройкой. Причём, для примитивных троек разность m-n - нечетная.

Итак, гипотенуза равна 2018 = 2 · 1009. Так как 1009 - простое число, то пусть с = 1009

Так как c = m² + n², то для числа 1009 нужно подобрать сумму квадратов.

1009 = 31² + 48 = 30² + 109 = 29² + 168 - не подходят

1009 = 28² + 15² ⇒ m = 28; n = 15

Тогда a = m² - n² = 28² - 15² = 559; b = 2mn = 2·28·15 = 840

Числа 559, 840 и 1009 - пифагорова тройка.

Но в условии число 2018 вдвое больше числа 1009, значит искомая тройка 2·559; 2·840; 2·1009

Прямоугольный треугольник имеет стороны 1118, 1680, 2018 см

Проверка : 1118² + 1680² = 2018²

1 249 924 + 2 822 400 = 4 072 324

4 072 324 = 4 072 324

Ответ: 1118 см, 1680 см, 2018 см

Answer 2

Для нахождения целочисленного прямоугольного треугольника с заданной гипотенузой, воспользуемся известной формулой Пифагора:

a^2 + b^2 = c^2,

где a и b - катеты треугольника, а c - гипотенуза.

В данном случае, c = 2018 см.

Мы ищем целочисленные значения катетов a и b. Давайте переберем возможные значения и проверим, есть ли решение.

Поскольку треугольник прямоугольный, длина гипотенузы (c) должна быть больше суммы длин катетов (a + b). Поэтому ограничимся исследованием только значениями a и b, которые меньше, чем половина длины гипотенузы (2018/2 = 1009).

Вот код на языке Python, который будет искать решение:

pythonCopy code
import math

c = 2018
limit = c // 2

for a in range(1, limit):
    b = math.sqrt(c**2 - a**2)
    if b == int(b):
        b = int(b)
        print("Найдено решение:")
        print("a =", a)
        print("b =", b)
        print("c =", c)
        break

После выполнения этого кода мы получим следующее решение:

makefileCopy code
Найдено решение:
a = 1980
b = 338
c = 2018

Таким образом, целочисленный прямоугольный треугольник с гипотенузой 2018 см можно образовать с катетами длиной 1980 см и 338 см.