Question

Докажите, что расстояние от всякой точки окружности, описанной около равностороннего треугольника, до одной из его вершин равно сумме расстояний от этой точки до двух других вершин.​

Answer 1

                      Решение : ////////////////////////

Answer 2

Пусть у нас есть равносторонний треугольник ABC, описанный около окружности с центром O.

Давайте рассмотрим произвольную точку P на этой окружности. Мы хотим доказать, что расстояние от точки P до одной из вершин треугольника равно сумме расстояний от этой точки до двух других вершин.

Обозначим точки на треугольнике следующим образом:

• A, B, C - вершины треугольника ABC.
• O - центр окружности.
• P - произвольная точка на окружности.

Теперь рассмотрим расстояния от точки P до вершин треугольника:

• Расстояние от P до A обозначим как d1.
• Расстояние от P до B обозначим как d2.
• Расстояние от P до C обозначим как d3.

Мы хотим доказать, что d1 = d2 + d3.

Рассмотрим треугольник PAB. Он равносторонний, так как сторона PA и PB равны (по определению окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника), и угол PAB равен 60 градусам (по определению равностороннего треугольника).

Таким образом, треугольник PAB - это равносторонний треугольник.

Рассмотрим угол PBO. Он также равен 60 градусам, так как треугольник PBO - равносторонний.

Таким образом, угол ABO также равен 60 градусам (сумма углов треугольника равна 180 градусам).

Теперь рассмотрим треугольник ABO. Он является равносторонним треугольником.

Так как угол ABO равен 60 градусам, а треугольник ABO - равносторонний, то угол OBA также равен 60 градусам.

Теперь мы имеем два равносторонних треугольника PAB и ABO, в которых соответствующие углы равны 60 градусам.

Таким образом, эти треугольники подобны.

Из подобия треугольников PAB и ABO следует, что отношение длины отрезка AB к длине отрезка PA равно √3.

То есть, AB/PA = √3.

По определению окружности, OA = OB = R (радиус окружности).

Т