Question

Докажите,что в прямоугольном треугольнике произведение катетов равно произведению гипотинузы на высоту, проведённую к ней.

Answer 1

Пусть a,b - катеты, c - гипотенуза, h - высота

Площадь прямоугольного треугольника можно записать двумя способами:

S=(a*b)/2 - полупроизведение катетов

S=(h*c)/2 - это вообще для любого треугольника формула, половина высоты на сторону к которой она проведена

приравниваем, получается (a*b)/2=(h*c)/2 или a*b=h*c что и нужно было доказать

Answer 2

Давайте рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где AB и BC - катеты, а AC - гипотенуза. Пусть h - высота, проведенная к гипотенузе AC из вершины B.

Мы можем использовать геометрические свойства подобных треугольников, чтобы доказать данное утверждение.

Рассмотрим маленький подобный треугольник ABD, в котором AB и BD являются катетами, а AD - гипотенузой. Также у нас есть высота h, проведенная к гипотенузе AD из вершины B.

По определению подобных треугольников, отношение длин соответствующих сторон в двух подобных треугольниках должно быть одинаковым. То есть:

AB/AD = BD/AB

Умножим обе части на AB:

AB^2/AD = BD

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Мы знаем, что AB^2 + BC^2 = AC^2 (теорема Пифагора).

Теперь заметим, что гипотенуза AC треугольника ABC является гипотенузой треугольника ABD. Поэтому AC = AD.

Подставим AC = AD в наше равенство:

AB^2/AC = BD

Мы знаем, что BD - это высота h, проведенная к гипотенузе AC треугольника ABC. Поэтому мы можем заменить BD на h:

AB^2/AC = h

Теперь давайте рассмотрим произведения катетов и гипотенузы, а также произведения гипотенузы и высоты:

AB * BC = AC * h

Итак, мы доказали, что в прямоугольном треугольнике произведение катетов равно произведению гипотенузы на высоту, проведённую к ней.