Question

Дайте, пожалуйста, подробное доказательство... Условие: "Существует ли треугольник, у которого все высоты меньше 1 см, а площадь больше 1 м2 (больше одного квадратного метра)?" Ответ: Да Но как доказать???

Answer 1

Положим  что стороны треугольника равны  $a,b,c$ , и высоты соответственно опущенные на  них    $h_{1};h_{2};h_{3}$
По условию  $h_{1}$
$S=\frac{ah_{1}}{2}>1\\ S=\frac{bh_{2}}{2}>1\\ S=\frac{ch_{3}}{2}>1\\\ ah_{1}>2\\ bh_{2}>2\\ ch_{3}>2$ 

Учитывая при этом неравенство треугольников 
$a+b>c\\ a+c>b\\ b+c>a$

Приходим к неравенству      
$x>\frac{2}{a}\\ x$    
$y>\frac{2}{b}\\ y$ 
$z>\frac{2}{c}\\ z$
Откуда получим решения 
$a>400\\b>a+200\\b-a$
 Это значит что такой треугольник есть 
 
  Можно конечно через какие то геометрические соображения решить 

Answer 2

Давайте докажем, что существует треугольник, у которого все высоты меньше 1 см, а площадь больше 1 м².

Предположим, что такой треугольник существует.

Пусть треугольник ABC имеет стороны a, b и c, а высоты, опущенные из вершин A, B и C на стороны a, b и c соответственно, обозначены как ha, hb и hc.

По определению площади треугольника, площадь треугольника ABC равна половине произведения одной из его сторон на соответствующую высоту.

Таким образом, мы можем записать площадь треугольника ABC следующим образом:

S = (1/2) * a * ha ...(1)

S = (1/2) * b * hb ...(2)

S = (1/2) * c * hc ...(3)

Предположим, что все высоты треугольника меньше 1 см. То есть ha < 1 см, hb < 1 см и hc < 1 см.

Теперь мы знаем, что площадь треугольника больше 1 м². Давайте выразим площадь в квадратных сантиметрах:

1 м² = 10000 см² ...(4)

Таким образом, площадь треугольника в квадратных сантиметрах будет:

S (в см²) = (1/2) * a * ha ...(5)

S (в см²) = (1/2) * b * hb ...(6)

S (в см²) = (1/2) * c * hc ...(7)

Мы также знаем, что площадь треугольника больше 10000 см². То есть:

S (в см²) > 10000 ...(8)

Теперь у нас есть система уравнений (1), (2), (3) и неравенство (8), и нам нужно найти такие значения a, b и c, при которых все высоты ha, hb и hc меньше 1 см, но площадь треугольника больше 10000 см².

Данная задача требует точных численных значений сторон треугольника, чтобы решить систему уравнений и неравенство. При этом, как правило, требуется использование численных методов для решения системы уравнений.

Однако, даже при использовании численных методов можно заметить, что неравенство (8) ограничивает диапазон возможных значений сторон треугольника. При таких ограничениях на