Question

К плоскости равностороннего треугольника ABC проведен перпендикуляр AD,точка E-середина стороны BC. 1)Докажите,что DE⊥BC. 2)Найдите DE,если AB=4 см,AD=3 см

Answer 1

К плоскости равностороннего треугольника ABC проведён перпендикуляр AD, точка E - середина стороны BC.
1) Докажите,что DE⊥BC.
2) Найдите DE, если AB = 4 см, AD = 3 см.

1) Доказательство:
▪DA - перпендикуляр к плоскости АВС
АЕ - перпендикулярен ВС ( В равностороннем треугольнике любая медиана является и высотой, и биссектрисой )
Значит, по теореме о трёх перпендикулярах DE перпендикулярен ВС, что и требовалось доказать.
*** см. приложение ***

2) Решение:
▪ Рассмотрим тр. АВС:
Высота в равностороннем треугольнике рассчитывается через сторону по формуле:
h = a•V3 / 2 => AE = ABV3/2 = 4V3/2 = 2V3 см ( см. приложение )
▪ИЛИ рассмотрев прям. тр. АВЕ:
ВЕ = ЕС = ВС/2 = 4 / 2 = 2 см
По теореме Пифагора:
АВ^2 = АЕ^2 + ВЕ^2
АЕ^2 = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12
АЕ = V12 = V( 4 • 3 ) = 2V3 см
▪Рассмотрим прям. тр. DAE: по т. Пифагора
DE^2 = АD^2 + AE^2
DE^2 = 3^2 + ( V12 )^2 = 9 + 12 = 21
DE = V21 см


☆ ОТВЕТ: 1) доказано ; 2) V21 см ☆

Answer 2

1. Докажем, что DE ⊥ BC с использованием свойств равностороннего треугольника и свойств серединного перпендикуляра.

Поскольку треугольник ABC является равносторонним, то все его стороны равны. Пусть AB = BC = AC = x.

Также известно, что AD является перпендикуляром к плоскости треугольника ABC и точка E является серединой стороны BC.

Для доказательства перпендикулярности DE к BC воспользуемся следующим рассуждением:

Поскольку точка E является серединой стороны BC, то BE = EC = x/2.

Также, по свойству серединного перпендикуляра, линия DE будет перпендикулярна отрезку BC и проходить через его середину.

Таким образом, DE будет перпендикулярно BC и проходить через точку E, которая является серединой BC.

Следовательно, DE ⊥ BC.

2. Чтобы найти DE, используем теорему Пифагора в треугольнике ADE.

В треугольнике ADE известно, что AD = 3 см (дано) и AE = EC = x/2 (так как E - середина BC).

Мы хотим найти DE.

Применяя теорему Пифагора в треугольнике ADE, получим:

DE^2 = AD^2 + AE^2

DE^2 = 3^2 + (x/2)^2

DE^2 = 9 + x^2/4

DE = √(9 + x^2/4)

Заметим, что из условия задачи известно, что AB = 4 см. Так как треугольник ABC равносторонний, то AB = BC = AC = x. Значит, x = 4.

Подставим это значение в формулу для DE:

DE = √(9 + (4^2)/4)

DE = √(9 + 16/4)

DE = √(9 + 4)

DE = √13

Таким образом, DE = √13 см.